专题4.4三角函数图像与性质【考纲解读】内容要求备注A B C 基本初等函数Ⅱ（三角函数）、三角恒等变换正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 √ 1．理解正弦函数，余弦函数、正切函数的图像．2．会用“五点法”画正弦函数、余弦函数简图．【直击考点】题组一 常识题1．函数y＝2sinx－3的最小正周期是________．【解析】最小正周期T＝＝4π.2．函数y＝Asinx＋1(A>0)的最大值是5，则它的最小值是________．【解析】依题意得A＋1＝5，所以A＝4，所以函数y＝4sinx＋1的最小值为－4＋1＝－3.3.判断函数y＝2cosx在[－π，0]上的单调性：____________．(填“增函数”或“减函数”)【解析】由余弦函数的单调性，得函数y＝2cosx在[－π，0]上是增函数．4.不等式2sinx>的解集为______________________________．【解析】不等式2sinx>，即sinx>，由函数y＝sinx的图像得所求解集为.题组二 常错题5．函数y＝1－2cosx的单调递减区间是___________________________．【解析】函数y＝1－2cosx的单调递减区间即函数y＝－cosx的单调递减区间，也即函数y＝cosx的单调递增区间，即[2kπ－π，2kπ](k∈Z)．6．若动直线x＝a与函数f(x)＝sinx和g(x)＝cosx的图像分别交于M，N两点，则|MN9\n|的最大值为________．【解析】设直线x＝a与函数f(x)＝sinx的图像的交点为M(a，y1)，直线x＝a与函数g(x)＝cosx的图像的交点为N(a，y2)，则|MN|＝|y1－y2|＝|sina－cosa|＝≤，7．函数f(x)＝2sin对任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最小值为________．题组三 常考题8．定义在区间[0，2π]上的函数y＝sin2x的图像与y＝sinx的图像的交点个数是________．【解析】由sin2x＝sinx得sinx＝0或cosx＝，因为x∈[0，2π]，所以x＝0，，π，，2π，交点个数是5.9．在函数①y＝cos|2x|，②y＝|sinx|，③y＝sin，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数是________．(填序号)【解析】函数y＝cos|2x|＝cos2x，其最小正周期为π，①正确；将函数y＝sinx的图像中位于x轴上方的图像不变，位于x轴下方的图像对称地翻折至x轴上方，即可得到y＝|sinx|的图像，所以其最小正周期为π，②正确；函数y＝sin的最小正周期为π，③正确；函数y＝tan的最小正周期为，④不正确．【知识清单】1．正弦、余弦、正切函数的图像与性质1.三角函数线三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方法。利用三角函数线在解决比较三角函数值大小、解三角方程及三角不等式等问题时，十分方便.以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆（注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米）。当角为第一象限角时，则其终边与单位圆必有一个交点，过点作轴交轴于点，根据三角函数的定义：；.9\nOxya角的终边PTMA我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角的终边不在坐标轴时,以为始点、为终点，规定：当线段与轴同向时，的方向为正向，且有正值；当线段与轴反向时，的方向为负向，且有正值；其中为点的横坐标.这样,无论那种情况都有：同理,当角的终边不在轴上时,以为始点、为终点，规定：当线段与轴同向时，的方向为正向，且有正值；当线段与轴反向时，的方向为负向，且有正值；其中为点的横坐标.这样,无论那种情况都有。像这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段.如上图,过点作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与的终边交于点,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段,我们有：我们把这三条与单位圆有关的有向线段,分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.2.正弦函数,余弦函数,正切函数的图象与性质性质图象定义域9\n值域最值当时，；当时，．当时，；当时，．既无最大值，也无最小值周期性奇偶性,奇函数偶函数奇函数单调性在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数．对称性对称中心对称轴，既是中心对称又是轴对称图形。对称中心对称轴，既是中心对称又是轴对称图形。对称中心无对称轴，是中心对称但不是轴对称图形。3.（五点法），先列表，令，求出对应的五个的值和五个值，再根据求出的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到在一个周期的图像，最后把这个周期的图像以周期为单位，向左右两边平移，则得到函数的图像.2三角函数的定义域与值域1.定义域：,的定义域为,的定义域为.9\n2．值域：,的值域为,的值域为.3.最值：：当时，；当时，．：当时，；当时，．：既无最大值，也无最小值3三角函数的对称性1.对称轴与对称中心：的对称轴为，对称中心为；的对称轴为，对称中心为；对称中心为.2.对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.的图象有无穷多条对称轴，可由方程解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与轴的交点，可由，解得，即其对称中心为．3.相邻两对称轴间的距离为，相邻两对称中心间的距离也为,函数的对称轴一定经过图象的最高点或最低点．【考点深度剖析】本课时是高考热点之一，主要考查：①作函数图像，包括用五点法描图及图形变换作图；②由图像确定解析式；③考查三角函数图像变换；④图像的轴对称、中心对称．题型多是容易题．【重点难点突破】考点1正弦、余弦、正切函数的图像与性质【1-1】已知是实数，则函数的图象可能是.9\n【答案】B【1-2】函数的图象大致为.【答案】D【解析】：因为为奇函数，图像关于原点对称，B，不符合，当时，，由此排除Ａ，当时，，由此排除C，故填D．【思想方法】画函数图像的一般方法(1)直接法．当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出；(2)图像变换法．若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出，【温馨提醒】注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．考点2三角函数的定义域与值域【2-1】函数的定义域是________．【答案】【解析】(1)由题意得，即，分别由三角函数线得，9\n【2-2】函数的定义域是________．【答案】【解析】由已知得，∴，∴原函数的定义域为．【2-3】若是一个三角形的最小内角，则函数的值域是.【答案】【解析】因为，是一个三角形的最小内角，所以，，从而，，.【2-4】函数的值域是【答案】方法二：由，得，又∵，，，即，∴函数的值域为.【思想方法】1．三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图像来求解．2．三角函数值域的不同求法(1)利用和的值域直接求；9\n(2)把所给的三角函数式变换成的形式求值域；(3)把或看作一个整体，转换成二次函数求值域；(4)利用和的关系转换成二次函数求值域．3.掌握三种类型，顺利求解三角最值:三角函数的最值既是高考中的一个重点，也是一个难点，其类型丰富，解决的方法比较多.但是归纳起来常见的有下面三种类型：（1）可化为型函数值域：利用三角公式对原函数进行化简、整理，最终得到的形式，然后借助题目中给定的的范围，确定的范围，最后利用的图象确定函数的值域.如：①，设化为一次函数在闭区间上的最值求之；②，引入辅助角，化为求解方法同类型①；(2)可化为型求函数的值域：首先借助三角公式，把函数化成型，然后采用换元法，即令，构造关于的函数，然后根据具体的结构，采取相应的方法求解.如：,化为二次函数在上的最值求之；,设化为二次函数在闭区间上的最值求之；，可转化为对号函数求值域.(3)利用数形结合思想求函数的值域：此类题目需分析函数的结构特征，看能否转化为有几何含义的式子结构，有时也可以把函数图象画出来，直接观察确定函数的值域.如，设化为用法求值；当时，还可用平均值定理求最值；根据正弦函数的有界性，即可分析法求最值，还可“不等式”9\n法或“数形结合”，转化为直线的斜率的几何含义求解.【温馨提醒】在求三角函数的最值时，要注意自变量的范围对最值的影响，往往结合图象求解．考点3三角函数的对称性【3-1】函数的图象的对称轴是.【答案】【解析】函数的对称轴为,所以是它的对称轴.【3-2】已知函数和的图象的对称轴完全相同，则的值是．【答案】－2【解析】【思想方法】先化成的形式再求解．其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心,关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的对称轴与对称中心．【温馨提醒】函数对称中心一定是函数上的点.【易错试题常警惕】(1)求三角函数的定义域、值域时应注意利用三角函数的图像。(2)闭区间上值域(或最值)问题，首先要在定义域基础上分析单调性；含参数的值域(或最值)问题，要讨论参数对值域(或最值)的影响。(3)利用换元法求复合函数的单调性时，要注意x系数的正负。(4)利用换元法求三角函数值域(或最值)时要注意三角函数的有界性，如：y＝sin2x－4sinx＋5，令t＝sinx，则y＝(t－2)2＋1≥1，解法错误。9
