专题4.4三角函数图像与性质一、填空题1．函数f(x)＝tan的单调递增区间是2.已知函数y＝sinωx(ω>0)在区间上为增函数，且图象关于点(3π，0)对称，则ω的取值集合为【解析】由题意知即其中k∈Z，则ω＝，ω＝或ω＝1，即ω的取值集合为.3．设函数f(x)＝3sin，若存在这样的实数x1，x2，对任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为________．【答案】2【解析】∵对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，∴f(x1)，f(x2)分别为函数f(x)的最小值和最大值，∴|x1－x2|的最小值为T＝×＝2.4．若函数f(x)＝sin(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点(x0,0)成中心对称，x0∈，则x0＝【解析】由题意得＝，T＝π，则ω＝2.由2x0＋＝kπ(k∈Z)，得x0＝－(k∈Z)，又x0∈，所以x0＝.5．已知x∈(0，π]，关于x的方程2sin＝a有两个不同的实数解，则实数a的取值范围为________．【答案】(，2)【解析】令y1＝2sin，x∈(0，π]，y2＝a，作出y1的图象如图所示．若2sin＝a在(0，π]上有两个不同的实数解，则y1与y2应有两个不同的交点，所以<a<2.5\n6.(2022·安徽江南十校联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，|φ|<的最小正周期为4π，且对任意x∈R，都有f(x)≤f成立，则f(x)图象的对称中心的坐标是7．函数y＝tan的图象与x轴交点的坐标是________．【答案】，k∈Z【解析】由2x＋＝kπ(k∈Z)得，x＝－(k∈Z)．∴函数y＝tan的图象与x轴交点的坐标是，k∈Z. 8．若函数f(x)＝sinωx(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________.【答案】【解析】∵f(x)＝sinωx(ω>0)过原点，∴当0≤ωx≤，即0≤x≤时，y＝sinωx是增函数；当≤ωx≤，即≤x≤时，y＝sinωx是减函数．由f(x)＝sinωx(ω>0)在上单调递增，在上单调递减知，＝，∴ω＝.5\n9．已知函数f(x)＝3sin(ω>0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x∈，则f(x)的取值范围是________．【答案】【解析】由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f(x)＝3sin，当x∈时，－≤2x－≤，所以－≤sin≤1，故f(x)∈.10．已知函数f(x)＝cos，其中x∈m∈R且m>，若f(x)的值域是，则m的最大值是________．【答案】【解析】由x∈，可知≤3x＋≤3m＋，∵f＝cos＝－，且f＝cosπ＝－1，∴要使f(x)的值域是，需要π≤3m＋≤，解得≤m≤，即m的最大值是.二、解答题11．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π.(1)求当f(x)为偶函数时φ的值；(2)若f(x)的图象过点，求f(x)的单调递增区间．5\n∴f(x)的单调递增区间为，k∈Z.12．已知函数f(x)＝a＋b.(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调增区间；(2)若x∈[0，π]时，函数f(x)的值域是[5,8]，求a，b的值．5\n5
