专题2.3函数奇偶性【考纲解读】内容要求备注A B C 函数概念与基本初等函数Ⅰ函数的基本性质 √ 1．了解奇函数、偶函数的定义，并能运用奇偶性的定义判断一些简单函数的奇偶性．2．掌握奇函数与偶函数的图像对称关系，并能熟练地利用对称性解决函数的综合问题．【直击考点】题组一 常识题1．[教材改编]函数f(x)＝x2－1，f(x)＝x3，f(x)＝x2＋cosx，f(x)＝＋|x|中偶函数的个数是________．【答案】2【解析】f(x)＝x2－1和f(x)＝x2＋cosx为偶函数．2．[教材改编]已知f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝－1，则f(－2)＝________．【答案】1－【解析】f(－2)＝－f(2)＝－(－1)＝1－.3．[教材改编]已知函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，当x∈(0，1]时，f(x)＝log4(x2＋3)，则f(2022)＝________．【答案】1题组二 常错题4．函数f(x)＝是________(填“奇”或“偶”或“非奇非偶”)函数．【答案】奇【解析】由得－1＜x＜1，且x≠0，∴函数f(x)的定义域为(－1，0)∪(0，1)．-7-\n∵f(x)＝＝，∴f(－x)＝＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．5．具有性质：f＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，给出下列函数：①f(x)＝x－；②f(x)＝x＋；③f(x)＝其中满足“倒负”变换的函数是________．(填序号)【答案】①③6．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f，且f(1)＝2，则f(2022)＝________．【答案】2【解析】∵f(x)＝－f，∴f(x＋3)＝f＝－f＝f(x)，∴f2022＝f(671×3＋1)＝f(1)＝2.题组三 常考题7．下列函数为奇函数的是________．(填序号)①y＝，②y＝tan2x，③y＝x＋cosx，④y＝ex＋e－x.【答案】②【解析】y＝和y＝ex＋e－x是偶函数，y＝x＋cosx是非奇非偶函数，只有y＝tan2x是奇函数．8．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x2＋1，则f(1)＋g(1)＝________．【答案】2【解析】令x＝－1得，f(－1)－g(－1)＝(－1)2＋1＝2.因为f(x)，g(x)分别是偶函数和奇函数，所以f(－1)＝f(1)，g(－1)＝－g(1)，即f(1)＋g(1)＝2.-7-\n9．函数f(x)＝是R上的奇函数，则a·b＝________．【答案】1【知识清单】1函数奇偶性的判断奇偶性定 义图像特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2函数奇偶性的应用(1)已知函数的奇偶性求函数的解析式．利用奇偶性关于f(x)的方程，从而可得f(x)的解析式．(2)已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数．常常采用待定系数法：利用f(x)±f(－x)＝0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值．(3)奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．（4）抽象函数的奇偶性就是要判断－x对应的函数值与x对应的函数值之间的关系，从而得到函数图象关于原点或y轴对称，结合函数的图形作出进一步的判断．【考点深度剖析】函数的奇偶性在高考中占有重要的地位，在命题时主要是与函数的概念、图像、性质综合在一起考查．而近几年的高考中加大了对非三角函数的周期性和抽象函数的奇偶性、周期性的考查力度．【重点难点突破】考点1函数奇偶性的判断【1-1】判断函数f(x)＝＋的奇偶性；【答案】f(x)既是奇函数又是偶函数．-7-\n【解析】解：∵由得x＝±1∴f(x)的定义域为{－1,1}．又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0，即f(x)＝±f(－x)．∴f(x)既是奇函数又是偶函数．【1-2】判断函数f(x)＝的奇偶性；【答案】f(x)是奇函数．【解析】∵由得－2≤x≤2且x≠0.∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，∴f(x)＝＝＝，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．【1-3】判断函数f(x)＝的奇偶性；【答案】f(x)是偶函数．【1-4】判断函数f(x)＝＋的奇偶性；【答案】f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．【解析】∵函数f(x)＝＋的定义域为，不关于坐标原点对称，∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数【思想方法】1．判断函数奇偶性的两个方法(1)定义法：-7-\n(2)图像法：2.判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．【温馨提醒】定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件考点2函数奇偶性的应用【2-1】已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________.【答案】－1.【2-2】设偶函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(2)＝0，则不等式的解集为________.【答案】(－∞，－2)∪(0,2)．【解析】∵f(x)为偶函数，∴∴xf(x)>0.或又f(－2)＝f(2)＝0，f(x)在(0，＋∞)上为减函数，故x∈(0,2)或x∈(－∞，－2)．【2-3】设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意x∈R都有f(x)＝f(x＋4)，当x∈[－2，0)时，f(x)＝2x，则f(2014)－f(2013)的值为_______.-7-\n【答案】【解析】由题可知函数的周期为4，故f(2014)－f(2013)＝f(2)－f(1)．因为f(x)是R上的奇函数，所以f(2)＝－f(－2)＝－2－2＝－，f(1)＝－f(－1)＝－2－1＝－，所以f(2014)－f(2013)＝－＋＝.【2-4】已知函数f(x)＝x2－m是定义在区间[－3－m，m2－m]上的奇函数，则f(m)＝________.【答案】-1【思想方法】①若函数f(x)为偶函数，则函数在y轴两侧单调性相反；若函数f(x)为奇函数，则函数在原点两侧的单调性相同．②利用函数的奇偶性把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上的问题，是简化问题的一种途径．【温馨提醒】奇偶函数的不等式求解时，要注意到：奇函数在对称的单调区间上有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间上有相反的单调性．【易错试题常警惕】f(0)＝0既不是f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件.已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x∈(0，1)时，f(x)＝.(1)求f(1)和f(－1)的值；(2)求f(x)在[－1，1]上的解析式.解 (1)∵f(x)是周期为2的奇函数，∴f(1)＝f(1－2)＝f(－1)＝－f(1)，∴f(1)＝0，f(－1)＝0.(2)由题意知，f(0)＝0.当x∈(－1，0)时，－x∈(0，1).由f(x)是奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－＝－，-7-\n综上，在[－1，1]上，f(x)＝-7-
