专题2.11函数与方程【考纲解读】内容要求备注A B C 函数概念与基本初等函数Ⅰ 函数与方程 √ 1．结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数的零点与方程根的联系．2．根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解．【直击考点】题组一 常识题1．[教材改编]若函数f(x)＝x2－x＋a存在两个不同的零点，则实数a的取值范围是________．【解析】Δ＝1－4a>0，解得a<.2．[教材改编]函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点个数是________．【解析】易知函数f(x)单调递增，且f(2)<0，f(3)>0，故存在唯一的零点．3．[教材改编]函数f(x)＝x3－2x2＋x的零点是________．【解析】解方程x3－2x2＋x＝0，得x＝0或x＝1，所以函数的零点是0和1.题组二 常错题4．(1)函数f(x)＝ax＋1在区间[1，2]上存在零点，则实数a的取值范围是________；(2)函数f(x)＝x2－1在区间(－，)上零点的个数为________．5．若二次函数f(x)＝x2－2x＋m在区间(0，4)上存在零点，则实数m的取值范围是________．【解析】二次函数图像的对称轴方程为x＝1.若在区间(0，4)上存在零点，只需f(1)≤0且f(4)>0即可，即－1＋m≤0且8＋m>0，解得－8<m≤1.6．若二次函数f(x)＝x2＋kx＋k在R上无零点，则实数k的取值范围是________．-6-\n【解析】Δ＝k2－4k<0，解得0<k<4.题组一 常考题7．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是________．①y＝ex2；②y＝x2＋1；③y＝sinx；④y＝cosx；⑤y＝ln|x|.【解析】y＝ex2，y＝x2＋1是偶函数，但没有零点；y＝sinx是奇函数，有零点；y＝cosx，y＝ln|x|是偶函数，且有零点．8．函数f(x)＝2cosxcos－x2的零点个数为________.【知识清单】1．函数零点所在区间的判定1．函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．2．二分法对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2判断函数零点个数函数零点个数的判断通常转化为两函数图像交点的个数，其步骤是：(1)令f(x)＝0；(2)构造y1＝f1(x)，y2＝f2(x)；(3)作出y1，y2图像；(4)由图像交点个数得出结论．3函数零点的应用函数零点与函数交点关系-6-\n【考点深度剖析】1．函数y＝f(x)的零点即方程f(x)＝0的实根，易误认为函数图像与x轴的交点．2．由函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．【重点难点突破】考点1函数零点所在区间的判定【1-1】函数f(x)＝log3x＋x－2的零点所在的区间为_________．【答案】(1,2)．【1-2】函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是_________．【答案】(0,3)【解析】由条件可知f(1)f(2)<0，即(2－2－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，解得0<a<3.【思想方法】函数零点个数的判断方法．(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图像交点的个数：画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．【温馨提醒】函数y＝f(x)的零点即方程f(x)＝0的实根，不要误为函数上的点．考点2判断函数零点个数【2-1】函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为______个．【答案】2-6-\n【解析】令f(x)＝2x|log0.5x|－1＝0，可得|log0.5x|＝x.设g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝x，在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图像，可以发现两个函数图像一定有2个交点，因此函数f(x)有2个零点．【2-2】已知函数f(x)＝则函数y＝f(f(x))＋1的零点个数是_____【答案】4【思想方法】(1)等价转化思想．(2)数形结合思想【温馨提醒】正确作出函数图像，揭示零点性质考点3函数零点的应用【3-1】若函数f(x)＝xlnx－a有两个零点，则实数a的取值范围为________．【答案】【解析】令g(x)＝xlnx，h(x)＝a，则问题可转化成函数g(x)与h(x)的图像有两个交点．g′(x)＝lnx＋1，令g′(x)<0，即lnx<－1，可解得0<x<；令g′(x)>0，即lnx-6-\n>－1，可解得x>，所以，当0<x<时，函数g(x)单调递减；当x>时，函数g(x)单调递增，由此可知当x＝时，g(x)min＝－.在同一坐标系中作出函数g(x)和h(x)的简图如图所示，据图可得－<a<0.【3-2】已知函数f(x)＝有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________．【答案】【思想方法】已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．【温馨提醒】正确作出函数图像，揭示零点性质【易错试题常警惕】函数在区间上有零点求参数问题，一定要注意变量或参数的取值范围．如：已知集合和，若，则实数的取值范围是．【分析】，方程组，，即函数在有零点．，当，即时，显然成立．实数的取值范围是．【易错点】忽略变量或参数的取值范围，导致条件不是等价变换．-6-\n【练一练】函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1，1)内存在一个零点，则a的取值范围是________.【答案】(－∞，－1)∪-6-
