专题2.12函数模型及其应用班级__________姓名_____________学号___________得分__________(满分100分，测试时间50分钟)一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置上(共10题，每小题6分，共计60分)．1.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m.【答案】202.如果在今后若干年内，我国国民经济生产总值都控制在平均每年增长9%的水平，那么要达到国民经济生产总值比1995年翻两番的年份大约是________．(lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，lg109＝2.0374，lg0.09＝－2.9543)【答案】2022年【解析】 设1995年总值为a，经过x年翻两番，则a·(1＋9%)x＝4a.∴x＝≈16.3.给出下列函数模型：①一次函数模型；②幂函数模型；③指数函数模型；④对数函数模型.下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是________(填序号).x45678910y15171921232527【答案】①【解析】根据已知数据可知，自变量每增加1函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型.4.一个容器装有细沙acm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，tmin后剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，若经过8min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．【答案】16【解析】当t＝0时，y＝a；当t＝8时，y＝ae－8b＝a，-10-\n∴e－8b＝，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝ae－bt＝a.e－bt＝＝(e－8b)3＝e－24b，则t＝24，所以再经过16min.5.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式y＝()t－a(a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为__________________________．(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．【答案】(1)y＝ (2)0.66.某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P(单位：mg/L)与过滤时间t(单位：h)之间的函数关系为P＝P0e－kt(k，P0均为正的常数)．如果在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么至少还需过滤 才可以排放．【答案】5h-10-\n【解析】设原污染物数量为a，则P0＝a.由题意有10%a＝ae－5k，所以5k＝ln10.设th后污染物的含量不得超过1%，则有1%a≥ae－tk，所以tk≥2ln10，t≥10.因此至少还需过滤10－5＝5h才可以排放．7.某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km(不超过3km按起步价付费)；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.【答案】9【解析】设出租车行驶xkm时，付费y元，则y＝由y＝22.6，解得x＝9.8.某杂志每本原定价2元，可发行5万本，若每本提价0.20元，则发行量减少4000本，为使销售总收入不低于9万元，需要确定杂志的最高定价是 【答案】3元9.某单位“五一”期间组团包机去上海旅游，其中旅行社的包机费为30000元，旅游团中的每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团中的人数在30或30以下，飞机票每张收费1800元.若旅游团的人数多于30人，则给以优惠，每多1人，机票费每张减少20元，但旅游团的人数最多有75人，那么旅游团的人数为_______人时，旅行社获得的利润最大.【答案】60【解析】设旅游团的人数为x人，飞机票为y元，利润为Q元，依题意，①当1≤x≤30时，y=1800元，此时利润Q=yx-30000=1800x-30000，此时最大值是当x=30时，Qmax=1800×30-30000=24000(元);②当30＜x≤75时，y=1800-20(x-30)=-20x+2400,此时利润Q=yx-30000=-20x2+2400x-30000=-20(x-60)2+42000,-10-\n所以当x=60时，旅行社可获得的最大利润42000元.综上，当旅游团的人数为60人时，旅行社获得的利润最大.10.某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：时间t60100180种植成本Q11684116根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系.Q=at+b,Q=at2+bc+c,Q=a·bt,Q=a·logbt利用你选取的函数，求得：(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是________.(2)最低种植成本是________(元/100kg).【答案】(1)120(2)80二、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内。(共4题，每小题10分，共计40分)．11.【江苏省泰州中学2022届高三摸底考试】某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第个月的利润函数（单位：万元）．为了获得更多地利润，企业将每月获得的利润再投入到次月的经营中．记第个月的利润率为，例如-10-\n．（1）求；（2）求第个月的当月利润率；（3）求该企业经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率．【答案】（1）（2）（3）40【解析】-10-\n12【无锡市普通高中2022届高三上学期期中基础性检测】（本题满分16分）某工厂第一季度某产品月生产量依次为10万件，12万件，13万件，为了预测以后每个月的产量，以这3个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量（单位：万件）与月份的关系.模拟函数；模拟函数.（1）已知4月份的产量为万件，问选用哪个函数作为模拟函数好？（2）受工厂设备的影响，全年的每月产量都不超过15万件，请选用合适的模拟函数预测6月份的产量.【答案】(1)；(2).【解析】-10-\n试题分析：(1)借助题设条件运用已知建立方程组分析探求；(2)借助题设运用函数的思想分析探求.试题解析：（1）若用模拟函数1：，则有，解得，．．．．．．．．．．．．．．．．．3分即，当时，．．．．．．．．．．．．．．5分若用模拟函数2：，则有13.【苏北三市（连云港、徐州、宿迁）2022届高三年级第三次调研考试】某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示.圆的圆心与矩形对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（为上切点），与左右两边相交（，为其中两个交点），图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域.已知圆的半径为1，且，设，透光区域的面积为.-10-\n（1）求关于的函数关系式，并求出定义域；（2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好.当该比值最大时，求边的长度.【答案】（1）关于的函数关系式为，定义域为；（2）透光区域与矩形窗面的面积比值最大时，的长度为1．（2）矩形窗面的面积为．-10-\n则透光区域与矩形窗面的面积比值为．设，．则，因为，所以，所以，故，所以函数在上单调减．所以当时，有最大值，此时答：（1）关于的函数关系式为，定义域为；（2）透光区域与矩形窗面的面积比值最大时，的长度为1．14.【2022-2022学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）】某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量（单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）满足如下关系：，且投入的肥料费用不超过5百元.此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）百元.已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克（即16百元/百千克），且市场需求始终供不应求.记该棵水蜜桃树获得的利润为（单位：百元）.（1）求利润函数的函数关系式，并写出定义域；（2）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）见解析（2）当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4300元.-10-\n-10-
