专题7.4基本不等式及其应用一、填空题1.(－6≤a≤3)的最大值为_______．【解析】因为－6≤a≤3，所以3－a≥0，a＋6≥0，则由基本不等式可知，≤＝，当且仅当a＝－时等号成立．2．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是_______．【解析】∵1＝2x＋2y≥2＝2当且仅当2x＝2y＝，即x＝y＝－1时等号成立，∴≤，∴2x＋y≤，得x＋y≤－2.3．若直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1,1)，则a＋b的最小值等于_______．4．已知a>－1，b>－2，(a＋1)(b＋2)＝16，则a＋b的最小值是_______．【解析】 因为a>－1，b>－2，所以a＋1>0，b＋2>0，又(a＋1)(b＋2)≤2，即16≤2，整理得a＋b≥5，当且仅当a＋1＝b＋2＝4，即a＝3，b＝2时等号成立5．若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋<m2－3m有解，则实数m的取值范围是_______．【解析】 ∵不等式x＋<m2－3m有解，∴x＋min＜m2－3m，∵x＞0，y＞0，且＋＝1，∴x＋＝＝＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当＝，即x＝2，y＝8时取等号，∴min＝4，∴m2－3m＞4，即(m＋1)(m－4)＞0，解得m＜－1或m＞4，故实数m的取值范围是(－∞，－1)∪(4，＋∞)．6．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0.则当取得最大值时，＋－的最大值为_______．【解析】 ＝＝≤＝1，当且仅当x＝2y时等号成立，此时z＝2y2，＋4\n－＝－＋＝－2＋1≤1，当且仅当y＝1时等号成立，故所求的最大值为1.7．已知a>0，b>0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是________．【答案】4【解析】由题意知：ab＝1，∴m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4＝4.当且仅当a＝b＝1时取等号．8．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为________．【答案】29．(2022·青岛模拟)已知实数x，y均大于零，且x＋2y＝4，则log2x＋log2y的最大值为________．【答案】1【解析】因为log2x＋log2y＝log22xy－1≤log22－1＝2－1＝1，当且仅当x＝2y＝2，即x＝2，y＝1时等号成立，所以log2x＋log2y的最大值为1.10．已知不等式2x＋m＋>0对一切x∈(1，＋∞)恒成立，则实数m的取值范围是________．【答案】(－10，＋∞)【解析】不等式2x＋m＋>0可化为2(x－1)＋>－m－2，∵x>1，∴2(x－1)＋≥2＝8，当且仅当x＝3时取等号．∵不等式2x＋m＋>0对一切x∈(1，＋∞)恒成立，∴－m－2<8，解得m>－10.二、解答题11．已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：4\n(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．12．(2022·常州调研)某学校为了支持生物课程基地研究植物的生长规律，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x(单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(单位：m2)．(1)求S关于x的函数关系式；(2)求S的最大值．解：(1)由题设，得S＝(x－8)＝－2x－＋916，x∈(8,450)．(2)因为8<x<450，所以2x＋≥2＝240，4\n当且仅当x＝60时等号成立，从而S≤676.故当矩形温室的室内长为60m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，为676m2.4
