星期二 (解析几何问题) 2022年____月____日已知椭圆C：x2＋2y2＝4.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y＝2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆x2＋y2＝2的位置关系，并证明你的结论．解 (1)由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1.所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.因此a＝2，c＝.故椭圆C的离心率e＝＝.(2)直线AB与圆x2＋y2＝2相切．证明如下：设点A，B的坐标分别为(x0，y0)，(t，2)，其中x0≠0.因为OA⊥OB，所以·＝0，即tx0＋2y0＝0，解得t＝－.当x0＝t时，y0＝－，代入椭圆C的方程，得t＝±，故直线AB的方程为x＝±.圆心O到直线AB的距离d＝.此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．当x0≠t时，直线AB的方程为y－2＝(x－t)，即(y0－2)x－(x0－t)y＋2x0－ty0＝0.圆心O到直线AB的距离d＝.又x＋2y＝4，t＝－，2\n故d＝＝＝.此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．2
