题型练1 选择题、填空题综合练(一)能力突破训练1.已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=3x-2,x∈A},则A∩B=( ) A.{1}B.{4}C.{1,3}D.{1,4}2.若复数z满足2z+z=3-2i,其中i为虚数单位,则z=( )A.1+2iB.1-2iC.-1+2iD.-1-2i3.若a>b>1,0<c<1,则( )A.ac<bcB.abc<bacC.alogbc<blogacD.logac<logbc4.执行如图所示的程序框图,若输入的a值为1,则输出的k值为( )A.1B.2C.3D.45.等差数列{an}的公差d≠0,且a3,a5,a15成等比数列,若a1=3,Sn为数列{an}的前n项和,则Sn的最大值为( )A.8B.6C.4D.46.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是( )A.2+5B.4+5C.2+25D.57.已知直线l1:x+2y+1=0,l2:Ax+By+2=0(A,B∈{1,2,3,4}),则l1与l2不平行的概率为( )-9-\nA.1516B.1112C.56D.168.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃,B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是( )A.各月的平均最低气温都在0℃以上B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均最高气温高于20℃的月份有5个9.将函数y=sin2x-π3图象上的点Pπ4,t向左平移s(s>0)个单位长度得到点P'.若P'位于函数y=sin2x的图象上,则( )A.t=12,s的最小值为π6B.t=32,s的最小值为π6C.t=12,s的最小值为π3D.t=32,s的最小值为π310.函数f(x)=xcosx2在区间[0,2]上的零点的个数为( )A.2B.3C.4D.511.如图,半圆的直径AB=6,O为圆心,C为半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则(PA+PB)·PC的最小值为( )A.92B.9C.-92D.-912.函数f(x)=(1-cosx)sinx在[-π,π]上的图象大致为( )-9-\n13.已知圆(x-2)2+y2=1经过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点和一个焦点,则此椭圆的离心率e= . 14.x-13x4的展开式中的常数项为 .(用数字表示) 15.(2022浙江,11)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π,理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”,将π的值精确到小数点后七位,其结果领先世界一千多年,“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6,S6= . 16.曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的面积为 . 思维提升训练1.设集合A={y|y=2x,x∈R},B={x|x2-1<0},则A∪B=( )A.(-1,1)B.(0,1)C.(-1,+∞)D.(0,+∞)2.已知i是虚数单位,z是z=1+i的共轭复数,则zz2在复平面内对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.(2022山东,理7)若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是( )A.a+1b<b2a<log2(a+b)B.b2a<log2(a+b)<a+1bC.a+1b<log2(a+b)<b2aD.log2(a+b)<a+1b<b2a4.若变量x,y满足约束条件x+y≥-1,2x-y<1,y≤1,则z=3x-y的最小值为( )A.-7B.-1C.1D.25.某算法的程序框图如图,若输出的y=12,则输入的x的值可能为( )A.-1B.0C.1D.5-9-\n6.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线x+2y+1=0垂直,则双曲线C的离心率为( )A.3B.52C.5D.27.函数y=xsinx在[-π,π]上的图象是( )8.在△ABC中,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C所对的边,若函数f(x)=13x3+bx2+(a2+c2-ac)x+1有极值点,则∠B的取值范围是( )A.0,π3B.0,π3C.π3,πD.π3,π9.将函数y=sin2x(x∈R)的图象分别向左平移m(m>0)个单位、向右平移n(n>0)个单位所得到的图象都与函数y=sin2x+π3(x∈R)的图象重合,则|m-n|的最小值为( )A.π6B.5π6C.π3D.2π310.(2022安徽江南十校联考)质地均匀的正四面体表面分别印有0,1,2,3四个数字,某同学随机地抛掷此正四面体2次,若正四面体与地面重合的表面数字分别记为m,n,且两次结果相互独立,互不影响.记m2+n2≤4为事件A,则事件A发生的概率为( )A.38B.316C.π8D.π1611.已知O是锐角三角形ABC的外接圆圆心,∠A=60°,cosBsinC·AB+cosCsinB·AC=2m·AO,则m的值为( )A.32B.2C.1D.1212.设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,M是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为( )A.33B.23C.22D.113.(2022江苏,10)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是 . 14.在平面直角坐标系中,设直线l:kx-y+2=0与圆O:x2+y2=4相交于A,B两点,OM=OA+OB,若点M在圆O上,则实数k= . -9-\n15.如图,在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D,满足PD=DA,PB=BA,则四面体PBCD的体积的最大值是 . 16.已知等差数列{an}前n项的和为Sn,且满足S55-S22=3,则数列{an}的公差为 . 参考答案题型练1 选择题、填空题综合练(一)能力突破训练1.D 解析由题意知集合B={1,4,7,10},则A∩B={1,4}.故选D.2.B 解析设z=a+bi(a,b∈R),则2z+z=3a+bi=3-2i,故a=1,b=-2,则z=1-2i,选B.3.C 解析特殊值验证法,取a=3,b=2,c=12,因为3>2,所以A错;因为32=18>23=12,所以B错;因为log312=-log32>-1=log212,所以D错;因为3log212=-3<2log312=-2log32,所以C正确.故选C.4.B 解析由程序框图可知,输入a=1,则k=0,b=1;进入循环体,a=-12,a=b不成立,k=1,a=-2,a=b不成立,k=2,a=1,此时a=b=1,输出k,则k=2,故选B.5.D 解析由题意得(a1+4d)2=(a1+2d)(a1+14d),即(3+4d)2=(3+2d)(3+14d),解得d=-2或d=0(舍去).所以Sn=3n+n(n-1)2×(-2)=-n2+4n.所以当n=2时,Sn=-n2+4n取最大值(Sn)max=8-4=4.故选D.6.C 解析由三视图还原几何体如图.∴S表面积=S△BCD+2S△ACD+S△ABC=12×2×2+2×12×5×1+12×2×5=2+5+5=2+25.-9-\n7.A 解析由A,B∈{1,2,3,4},则有序数对(A,B)共有16种等可能基本事件,而(A,B)取值为(1,2)时,l1∥l2,故l1与l2不平行的概率为1-116=1516.8.D 解析由题图可知,0℃在虚线圈内,所以各月的平均最低气温都在0℃以上,A正确;易知B,C正确;平均最高气温高于20℃的月份有3个,分别为六月、七月、八月,D错误.故选D.9.A 解析设P'(x,y).由题意得,t=sin2×π4-π3=12,且P'的纵坐标与P的纵坐标相同,即y=12.又P'在函数y=sin2x的图象上,则sin2x=12,故点P'的横坐标x=π12+kπ或5π12+kπ(k∈Z),由题意可得s的最小值为π4-π12=π6.10.A 解析令f(x)=0,即xcosx2=0,得x=0或cosx2=0,则x=0或x2=kπ+π2,x∈Z.∵x∈[0,2],∴x2∈[0,4],得k的取值为0,即方程f(x)=0有两个解,则函数f(x)=xcosx2在区间上的零点的个数为2,故选A.11.C 解析∵PA+PB=2PO,∴(PA+PB)·PC=2PO·PC=-2|PO|·|PC|.又|PO|+|PC|=|OC|=3≥2|PO|·|PC|⇒|PO|·|PC|≤94,∴(PA+PB)·PC≥-92.故答案为-92.12.C 解析由函数f(x)为奇函数,排除B;当0≤x≤π时,f(x)≥0,排除A;又f'(x)=-2cos2x+cosx+1,令f'(0)=0,则cosx=1或cosx=-12,结合x∈[-π,π],求得f(x)在(0,π]上的极大值点为2π3,靠近π,排除D.13.13 解析因为圆(x-2)2+y2=1与x轴的交点坐标为(1,0),(3,0),所以c=1,a=3,e=ca=13.14.23 解析Tk+1=C4kx4-k(-1)k13k1xk=C4kx4-2k(-1)k13k,令4-2k=0,得k=2,展开式中的常数项为23.15.332 解析将正六边形分割为6个等边三角形,则S6=6×12×1×1×sin60°=332.16.16 解析在同一平面直角坐标系中作出函数y=x2与y=x的图象如图,所围成的封闭图形如图中阴影所示,设其面积为S.-9-\n由y=x2,y=x,得x=0,y=0或x=1,y=1.故所求面积S=01(x-x2)dx=12x2-13x301=16.思维提升训练1.C 解析A={y|y>0},B={x|-1<x<1},则A∪B={x|x>-1},选C.2.C 解析z=1-i,则zz2=1-i(1+i)2=1-i2i=-12-12i,对应复平面内点的坐标为-12,-12,在第三象限.3.B 解析不妨令a=2,b=12,则a+1b=4,b2a=18,log2(a+b)=log252∈(log22,log24)=(1,2),即b2a<log2(a+b)<a+1b.故选B.4.A 解析画出约束条件对应的可行域(如图).由z=3x-y得y=3x-z,依题意,在可行域内平移直线l0:y=3x,当直线l0经过点A时,直线l0的截距最大,此时,z取得最小值.由y=1,x+y+1=0,得x=-2,y=1,则A(-2,1),故z的最小值为3×(-2)-1=-7.5.C 解析由算法的程序框图可知,给出的是分段函数y=sinπ6x,x≤2,2x,x>2,当x>2时y=2x>4,若输出的y=12,则sinπ6x=12,结合选项可知选C.6.C 解析∵双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦点在x轴上,∴其渐近线方程为y=±bax.∵渐近线与直线x+2y+1=0垂直,∴渐近线的斜率为2,∴ba=2,即b2=4a2,c2-a2=4a2,c2=5a2,∴c2a2=5,ca=5,双曲线的离心率e=5.-9-\n7.A 解析容易判断函数y=xsinx为偶函数,可排除D;当0<x<π2时,y=xsinx>0,排除B;当x=π时,y=0,可排除C.故选A.8.D 解析函数f(x)的导函数f'(x)=x2+2bx+(a2+c2-ac),若函数f(x)有极值点,则Δ=(2b)2-4(a2+c2-ac)>0,得a2+c2-b2<ac,由余弦定理,得cosB=a2+c2-b22ac<12,则B>π3,故选D.9.C 解析函数y=sin2x(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位可得y=sin2(x+m)=sin(2x+2m)的图象,向右平移n(n>0)个单位可得y=sin2(x-n)=sin(2x-2n)的图象.若两图象都与函数y=sin2x+π3(x∈R)的图象重合,则2m=π3+2k1π,2n=-π3+2k2π(k1,k2∈Z),即m=π6+k1π,n=-π6+k2π(k1,k2∈Z).所以|m-n|=π3+(k1-k2)π(k1,k2∈Z),当k1=k2时,|m-n|min=π3.故选C.10.A 解析根据要求进行一一列举,考虑满足事件A的情况.两次数字分别为(0,0),(0,1),(1,0),(0,2),(2,0),(0,3),(3,0),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2),(1,1),(2,2),(3,3),共有16种情况,其中满足题设条件的有(0,0),(0,1),(1,1),(1,0),(2,0),(0,2),共6种情况,所以由古典概型的概率计算公式可得事件A发生的概率为P(A)=616=38,故选A.11.A 解析如图,当△ABC为正三角形时,A=B=C=60°,取D为BC的中点,AO=23AD,则有13AB+13AC=2m·AO,∴13(AB+AC)=2m×23AD,∴13·2AD=43mAD,∴m=32,故选A.12.C 解析设P(2pt2,2pt),M(x,y)(不妨设t>0),Fp2,0,则FP=2pt2-p2,2pt,FM=x-p2,y.∵FM=13FP,-9-\n∴x-p2=2p3t2-p6,y=2pt3,∴x=2p3t2+p3,y=2pt3.∴kOM=2t2t2+1=1t+12t≤1212=22,当且仅当t=22时等号成立.∴(kOM)max=22,故选C.13.30 解析一年的总运费与总存储费用之和为4x+600x×6=4x+900x≥4×2900=240,当且仅当x=900x,即x=30时等号成立.14.±1 解析如图,OM=OA+OB,则四边形OAMB是锐角为60°的菱形,此时,点O到AB距离为1.由21+k2=1,解得k=±1.15.12 解析由题意易知△ABD≌△PBD,∠BAD=∠BPD=∠BCD=30°,AC=23.设AD=x,则0≤x≤23,CD=23-x,在△ABD中,由余弦定理知BD=4+x2-23x=1+(x-3)2.设△PBD中BD边上的高为d,显然当平面PBD⊥平面CBD时,四面体PBCD的体积最大,从而VP-BCD≤13×d×S△BCD=13×PD×PB×sin30°BD×12×BC×CD×sin30°=16×x(23-x)1+(x-3)2,令1+(x-3)2=t∈[1,2],则VP-BCD≤4-t26t≤12易知f(t)=4-t26t在[1,2]上单调递减,即VP-BCD的最大值为12.16.2 解析∵Sn=na1+n(n-1)2d,∴Snn=a1+n-12d,∴S55-S22=a1+5-12d-a1+2-12d=32d.又S55-S22=3,∴d=2.-9-
