题型练10 大题综合练(二)1.设数列{an}(n=1,2,3,…)的前n项和Sn满足Sn=2an-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)记数列1an的前n项和为Tn,求使得|Tn-1|<11000成立的n的最小值.2.某工厂生产A,B两种产品,其质量按测试指标划分,指标大于或等于88为合格品,小于88为次品.现随机抽取这两种产品各100件进行检测,检测结果统计如下:测试指标[80,84)[84,88)[88,92)[92,96)[96,100]产品A61442317产品B81740305(1)试分别估计产品A,B为合格品的概率;(2)生产1件产品A,若是合格品则盈利45元,若是次品则亏损10元;生产1件产品B,若是合格品则盈利60元,若是次品则亏损15元.在(1)的前提下,①X为生产1件产品A和1件产品B所得的总利润,求随机变量X的分布列和数学期望;②求生产5件产品B所得利润不少于150元的概率.-7-\n3.如图,在三棱台ABC-DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(1)求证:BF⊥平面ACFD;(2)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.4.设椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过M(2,2),N(6,1)两点,O为坐标原点.(1)求椭圆E的方程;(2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OA⊥OB?若存在,写出该圆的方程,并求|AB|的取值范围:若不存在,请说明理由.5.已知函数f(x)=alnx-ax-3(a∈R).-7-\n(1)若a=-1,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°,对于任意的t∈[1,2],函数g(x)=x3+x2f'(x)+m2在区间(t,3)上总不是单调函数,求m的取值范围;(3)求证:ln22×ln33×ln44×…×lnnn<1n(n≥2,n∈N*).参考答案题型练10 大题综合练(二)1.解(1)由已知Sn=2an-a1,有an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n≥2),即an=2an-1(n≥2).从而a2=2a1,a3=2a2=4a1.又因为a1,a2+1,a3成等差数列,即a1+a3=2(a2+1).所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2.所以,数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列.故an=2n.(2)由(1)得1an=12n.所以Tn=12+122+…+12n=121-12n1-12=1-12n.由|Tn-1|<11000,得1-12n-1<11000,即2n>1000.因为29=512<1000<1024=210,所以n≥10.于是,使|Tn-1|<11000成立的n的最小值为10.2.解(1)由题意知,产品A为合格品的概率约为42+31+7100=45,产品B为合格品的概率约为-7-\n40+30+5100=34.(2)①随机变量X的所有可能取值为-25,30,50,105.P(X=-25)=1-451-34=120;P(X=30)=45×1-34=15;P(X=50)=1-45×34=320;P(X=105)=45×34=35.所以随机变量X的分布列为X-253050105P1201532035E(X)=(-25)×120+30×15+50×320+105×35=75.25.②生产的5件产品B中,合格品为3,4,5件时,所得利润不少于150元,记“生产5件产品B所得利润不少于150元”为事件M,则P(M)=C53×343×142+C54×344×14+C55345=459512.3.(1)证明延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示.因为平面BCFE⊥平面ABC,且AC⊥BC,所以AC⊥平面BCK,因此BF⊥AC.又因为EF∥BC,BE=EF=FC=1,BC=2,所以△BCK为等边三角形,且F为CK的中点,则BF⊥CK.所以BF⊥平面ACFD.(2)解法一过点F作FQ⊥AK于Q,连接BQ.因为BF⊥平面ACK,所以BF⊥AK,则AK⊥平面BQF,所以BQ⊥AK.所以∠BQF是二面角B-AD-F的平面角.在Rt△ACK中,AC=3,CK=2,得FQ=31313.在Rt△BQF中,FQ=31313,BF=3,得cos∠BQF=34.-7-\n所以,二面角B-AD-F的平面角的余弦值为34.解法二如图,延长AD,BE,CF相交于一点K,则△BCK为等边三角形.取BC的中点O,则KO⊥BC,又平面BCFE⊥平面ABC,所以,KO⊥平面ABC.以点O为原点,分别以射线OB,OK的方向为x,z的正方向,建立空间直角坐标系O-xyz.由题意得B(1,0,0),C(-1,0,0),K(0,0,3),A(-1,-3,0),E12,0,32,F-12,0,32.因此,AC=(0,3,0),AK=(1,3,3),AB=(2,3,0).设平面ACK的法向量为m=(x1,y1,z1),平面ABK的法向量为n=(x2,y2,z2).由AC·m=0,AK·m=0得3y1=0,x1+3y1+3z1=0,取m=(3,0,-1);由AB·n=0,AK·n=0得2x2+3y2=0,x2+3y2+3z2=0,取n=(3,-2,3).于是,cos<m,n>=m·n|m||n|=34.所以,二面角B-AD-F的平面角的余弦值为34.4.解(1)将M,N的坐标代入椭圆E的方程,得4a2+2b2=1,6a2+1b2=1,解得a2=8,b2=4.所以椭圆E的方程为x28+y24=1.(2)假设满足题意的圆存在,其方程为x2+y2=R2,其中0<R<2.设该圆的任意一条切线AB和椭圆E交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,当直线AB的斜率存在时,令直线AB的方程为y=kx+m,①将其代入椭圆E的方程并整理,得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0.由根与系数的关系,得x1+x2=-4km2k2+1,x1x2=2m2-82k2+1.②因为OA⊥OB,所以x1x2+y1y2=0.③将y1=kx1+m,y2=kx2+m代入③,得(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0.④-7-\n将②代入④,得m2=83(1+k2).⑤因为直线AB和圆相切,所以R=|m|1+k2,将其代入⑤得R=263,所以存在圆x2+y2=83满足题意.当切线AB的斜率不存在时,易得x12=x22=83,由椭圆E的方程得y12=y22=83,显然OA⊥OB.综上所述,存在圆x2+y2=83满足题意.如图,过原点O作OD⊥AB,垂足为D,则D为切点,设∠OAB=θ,则θ为锐角,且|AD|=263tanθ,|BD|=263tanθ,所以|AB|=263tanθ+1tanθ.因为2≤|OA|≤22,所以22≤tanθ≤2.令x=tanθ,易证:当x∈22,1时,|AB|=263x+1x单调递减;当x∈[1,2]时,|AB|=263x+1x单调递增.所以463≤|AB|≤23.5.(1)解当a=-1时,f'(x)=x-1x(x>0),由f'(x)>0,得x∈(1,+∞);由f'(x)<0,得x∈(0,1),∴函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞);单调递减区间为(0,1).(2)解∵f'(x)=a(1-x)x(x>0),∴f'(2)=-a2=1.∴a=-2,f(x)=-2lnx+2x-3,g(x)=x3+m2+2x2-2x.∴g'(x)=3x2+(m+4)x-2.∵g(x)在区间(t,3)上不是单调函数,且g'(0)=-2,∴g'(t)<0,g'(3)>0.由题意知,对于任意的t∈[1,2],g'(t)<0恒成立,∴g'(1)<0,g'(2)<0,g'(3)>0,∴-373<m<-9.-7-\n(3)证明由(1)当x∈(1,+∞)时,f(x)>f(1),即-lnx+x-1>0,∴0<lnx<x-1对一切x∈(1,+∞)恒成立.∵n≥2,n∈N*,则有0<lnn<n-1,∴0<lnnn<n-1n,∴ln22×ln33×ln44×…×lnnn<12×23×34×…×n-1n=1n(n≥2,n∈N*).∴ln22×ln33×ln44×…×lnnn<1n(n≥2,n∈N*).-7-
