题型练9 大题综合练(一)1.(2022全国Ⅱ,理17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin(A+C)=8sin2B2.(1)求cosB;(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.2.端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个.(1)求三种粽子各取到1个的概率;(2)设X表示取到的豆沙粽个数,求X的分布列与数学期望.-6-\n3.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,AB⊥AD,AB=1,AD=2,AC=CD=5.(1)求证:PD⊥平面PAB;(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值;(3)在棱PA上是否存在点M,使得BM∥平面PCD?若存在,求AMAP的值;若不存在,说明理由.4.设椭圆E的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为510.(1)求E的离心率e;(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为72,求E的方程.-6-\n5.设函数f(x)=2ln(x+1)+x2x+1.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)如果对所有的x≥0,都有f(x)≤ax,求a的最小值;(3)已知在数列{an}中,a1=1,且(1-an+1)(1+an)=1,若数列{an}的前n项和为Sn,求证:Sn>an+12an-lnan+1.参考答案题型练9 大题综合练(一)1.解(1)由题设及A+B+C=π,得sinB=8sin2B2,故sinB=4(1-cosB).上式两边平方,整理得17cos2B-32cosB+15=0,解得cosB=1(舍去),cosB=1517.(2)由cosB=1517得sinB=817,故S△ABC=12acsinB=417ac.又S△ABC=2,则ac=172.由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cosB)=36-2×172×1+1517-6-\n=4.所以b=2.2.解(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”,则由古典概型的概率计算公式有P(A)=C21C31C51C103=14.(2)X的所有可能值为0,1,2,且P(X=0)=C83C103=715,P(X=1)=C21C82C103=715,P(X=2)=C22C81C103=115.综上知,X的分布列为X012P715715115故E(X)=0×715+1×715+2×115=35(个).3.(1)证明因为平面PAD⊥平面ABCD,AB⊥AD,所以AB⊥平面PAD.所以AB⊥PD.又因为PA⊥PD,所以PD⊥平面PAB.(2)解取AD的中点O,连接PO,CO.因为PA=PD,所以PO⊥AD.又因为PO⊂平面PAD,平面PAD⊥平面ABCD,所以PO⊥平面ABCD.因为CO⊂平面ABCD,所以PO⊥CO.因为AC=CD,所以CO⊥AD.如图建立空间直角坐标系O-xyz.由题意得,A(0,1,0),B(1,1,0),C(2,0,0),D(0,-1,0),P(0,0,1).设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则n·PD=0,n·PC=0,即-y-z=0,2x-z=0.令z=2,则x=1,y=-2.所以n=(1,-2,2).又PB=(1,1,-1),所以cos<n,PB>=n·PB|n||PB|=-33.-6-\n所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为33.(3)解设M是棱PA上一点,则存在λ∈[0,1]使得AM=λAP.因此点M(0,1-λ,λ),BM=(-1,-λ,λ).因为BM⊄平面PCD,所以BM∥平面PCD当且仅当BM·n=0,即(-1,-λ,λ)·(1,-2,2)=0.解得λ=14.所以在棱PA上存在点M使得BM∥平面PCD,此时AMAP=14.4.解(1)由题设条件知,点M的坐标为23a,13b,又kOM=510,从而b2a=510,进而得a=5b,c=a2-b2=2b,故e=ca=255.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得,直线AB的方程为x5b+yb=1,点N的坐标为52b,-12b.设点N关于直线AB的对称点S的坐标为x1,72,则线段NS的中点T的坐标为54b+x12,-14b+74.又点T在直线AB上,且kNS·kAB=-1,从而有54b+x125b+-14b+74b=1,72+12bx1-52b=5,解得b=3.所以a=35,故椭圆E的方程为x245+y29=1.5.(1)解f(x)的定义域为(-1,+∞),f'(x)=x2+4x+2(x+1)2.当-1<x<-2+2时,f'(x)<0,当x>-2+2时,f'(x)>0,所以函数f(x)在区间(-1,-2+2)内单调递减,在区间(-2+2,+∞)内单调递增.(2)解设g(x)=2ln(x+1)+x2x+1-ax,则g'(x)=x2+4x+2(x+1)2-a=(x+1)2+2(x+1)-1(x+1)2-a=-1x+1-12+2-a.因为x≥0,所以-1<-1x+1-12≤0.①当a≥2时,2-a≤0,g'(x)≤0,所以g(x)在区间[0,+∞)内单调递减,而g(0)=0,所以对所有的x≥0,g(x)≤0,即f(x)≤ax.②当1<a<2时,0<2-a<1,若x∈0,2-a+2-aa-1,则g'(x)>0,g(x)单调递增,而g(0)=0,所以当x∈0,2-a+2-aa-1时,g(x)>0,即f(x)>ax.-6-\n③当a≤1时,2-a≥1,g'(x)>0,所以g(x)在区间[0,+∞)内单调递增,而g(0)=0,所以对所有的x>0,g(x)>0,即f(x)>ax.综上,a的最小值为2.(3)证明由(1-an+1)(1+an)=1,得an-an+1=an·an+1,由a1=1得,an≠0,所以1an+1-1an=1,数列1an是以1a1=1为首项,1为公差的等差数列,所以1an=n,an=1n,an+1=1n+1.Sn>an+12an-lnan+1⇔ln(n+1)+n2(n+1)<1+12+13+…+1n.由(2)知当a=2时,2ln(x+1)+x2x+1≤2x,x>0,即ln(x+1)+x22(x+1)<x,x>0.(方法一)令x=1n,得lnn+1n+12n(n+1)<1n,即ln(n+1)-lnn+121n-1n+1<1n,因为∑k=1nln(k+1)-lnk+121k-1k+1=ln(n+1)+n2(n+1),所以ln(n+1)+n2(n+1)<1+12+13+…+1n,故Sn>an+12an-lnan+1.(方法二)Sn>an+12an-lnan+1⇔1+12+13+…+1n>ln(n+1)+n2(n+1).下面用数学归纳法证明.①当n=1时,令x=1代入ln(x+1)+x22(x+1)<x,即得1>ln2+14,不等式成立.②假设当n=k(k∈N*,k≥1)时,不等式成立,即1+12+13+…+1k>ln(k+1)+k2(k+1),则当n=k+1时,1+12+13+…+1k+1k+1>ln(k+1)+k2(k+1)+1k+1,令x=1k+1代入ln(x+1)+x22(x+1)<x,得1k+1>lnk+2k+1+12(k+1)(k+2),ln(k+1)+k2(k+1)+1k+1>ln(k+1)+k2(k+1)+lnk+2k+1+12(k+1)(k+2)=ln(k+2)+k(k+2)+12(k+1)(k+2)=ln(k+2)+k+12(k+2),即1+12+13+…+1k+1k+1>ln(k+2)+k+12(k+2).由①②可知不等式1+12+13+…+1n>ln(n+1)+n2(n+1)对任何n∈N*都成立.故Sn>an+12an-lnan+1.-6-
