万有引力定律和天体运动1．由于万有引力定律和库仑定律都满足于平方反比律，因此引力场和电场之间有许多相似的性质，在处理有关问题时可以将它们进行类比．例如电场中反映各点电场强弱的物理量是电场强度，其定义式为E=，在引力场中可以有一个类似的物理量来反映各点引力场的强弱．设地球质量为M，半径为R，地球表面处重力加速度为g，引力常量为G．如果一个质量为m的物体位于距地心2R处的某点，则下列表达式中能反映该点引力场强弱的是（AD）A．G B．GC．GD．2.在某星球表面以初速度υ0竖直上抛一个物体，若物体受到该星球引力作用，忽略其他力的影响，物体上升的最大高度为h，已知该星球的直径为d，如果要在这个星球上发射一颗绕它运行的卫星，其做匀速圆周运动的最小周期为（A）A． B． C．D．3．2022年10月12日，我国利用“神舟六号”飞船将宇航员费俊龙、聂海胜送入太空，中国成为继俄、美之后第三个掌握载人航天技术的国家．设费俊龙测出自己绕地球球心做匀速圆周运动的周期为T．离地面的高度为H，地球半径为R．则根据T、H、R和万有引力恒量G，费俊龙不能计算出下面的哪一项（C）A．地球的质量B．地球的平均密度C．飞船所需的向心力D．飞船线速度的大小4．如图在发射地球同步卫星的过程中，卫星首先进入椭圆轨道Ⅰ，然后在Q点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道Ⅱ，则（CD）A．该卫星的发射速度必定大于11.2km/sB．卫星在同步轨道Ⅱ上的运行速度大于7.9km/sC．在轨道Ⅰ上，卫星在P点速度大于在Q点的速度D．卫星在Q点通过加速实现由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ5．“神舟”五号载人飞船在绕地球飞行的第五圈进行变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面高度为h的圆形轨道．已知飞船的质量为m，地球半径为R，地面处的重力加速度为g，则飞船在上述圆轨道上运行的动能（B）A．等于mg（R+h） B．小于mg（R+h） C．大于mg（R+h） D．等于mgh6-9-\n．我国的航天技术正在飞速发展，在我国航天史上第一颗人造卫星绕地球运动的轨道为一椭圆，它在近地点时离地面高度为h，速度为υ，又知地球半径为R，地面附近重力加速度为g，则它在近地点时的加速度大小（A）A． B． C．g D．7一颗在赤道上空运行的人造卫星，其轨道半径为r=2R(R为地球半径)，卫星的运动方向与地球自转方向相同。已知地球自转的角速度为ω，地球表面处的重力加速度为g。（1）求人造卫星绕地球转动的角速度。（2）若某时刻卫星通过赤道上某建筑物的正上方，求它下次通过该建筑物上方需要的时间。答案：（1）地球对卫星的万有引力提供作圆周运动的向心力 地面表面附近的重力加速度g= 把r＝2R代入，解方程可得 （2）卫星下次通过该建筑物上方时，卫星比地球多转2p弧度，所需时间 8侦察卫星在通过地球两极上空的圆轨道上运行，它的运行轨道距地面高度为h，已知地球半径为R，地面表面处的重力加速度为g，地球的自转周期为T。⑴试求该卫星的运行速度； ⑵要使卫星在一天内将地面上赤道各处在日照条件下的情况全部拍下来，卫星在通过赤道上空时，卫星上的摄像机应拍摄地面上赤道圆周的弧长S是多少?答案：⑴ 设地球质量为M，卫星质量为m，卫星在运行时，由万有引力提供向心力：设地球表面有个质量为m0的物体，则：m0g=由①②式联立，卫星的运行速度为：-9-\n⑵设卫星的运动周期为T′，则：得：一天内侦察卫星经过有日照的赤道上空次数为：摄像机每次应拍摄地面上赤道圆周的弧长为：S＝得：S＝9.飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为T．如果飞船要返回地面，可在轨道上某一点A处将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运行，椭圆与地球表面在B点相切，如图6－2所示．试求飞船由A点到B点所需的时间(已知地球半径为R0)？故飞船由A点到B点所需的时间为10.如图所示，某行星围绕太阳C沿椭圆轨道运行．它的近日点A离太阳的距离为a，行星经过近日点时的速率为vA，行星的远日点B离太阳的距离为b，求它经过远日点时速度的大小．解：设A、B点的曲率半径为r，于是有-9-\n11．一地球探测飞船在地球赤道上空绕地球做圆周运动，用摄像机拍摄地球表面图片．已知地球的密度为ρ，飞船的飞行周期为T（小于24h）．试求摄像机所能拍摄的总面积与地球表面积之比．（万有引力常量为G；球体体积公式为V=πr3，r为球半径；球冠面积公式为S=2πrh，r为球半径，h为球冠高）【解析】如图所示，设地球半径为r，卫星的轨道半径为R．图中两个阴影部分的球冠表面积是不能拍摄到的区域．卫星绕地球运动，有：=mR其中地球的质量为M，则M=πr3ρ图中球冠的高为h，则h=r（1-cosα）其中cosα=而球冠的总面积为S′=2πrh×2，地球的表面积为S=4πr2解得摄像机所能拍摄到的总面积与地球表面积之比为=12．宇宙飞船上的科研人员在探索某星球时，完成如下实验：①当飞船停留在距该星球一定的距离时，正对着该星球发出一个激光脉冲，经过时间t后收到反射回来的信号，并测得此时刻星球对观察者的眼睛所张视角为；②当飞船在该星球着陆后，科研人员在距星球表面h处以初速度水平抛出一个小球，并测出落点到抛出点的水平距离为S。已知万有引力恒量G，光速c，星球的自转影响以及大气对物体的阻力均不计。试根据以上信息，求：（1）星球的半径R。（2）星球的质量M。答案：，13．阅读下列材料，并结合该材料解题．开普勒从1609年～1619年发表了著名的开普勒行星三定律：第一定律：所有的行星分别在大小不同的椭圆轨道上绕太阳运动，太阳在这些椭圆的一个公共焦点上．第二定律：太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积．第三定律：所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相等．-9-\n实践证明，开普勒三定律也适用于人造地球卫星的运动．如果人造地球卫星沿半径为r的圆形轨道绕地球运动，当开动制动发动机后，卫星速度降低并转移到与地球相切的椭圆轨道上，如图所示．问在这之后卫星经过多长时间着陆。空气阻力不计，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，圆形轨道应为椭圆轨道的一种特殊形式．【解析】卫星在半径为r的圆轨道运动有：r得此时卫星的周期为T1=2π卫星沿椭圆轨道运动时，其半长轴为a=由开普勒第三定律有：=，得T2=π（R+r）另外，在地球表面时，近似有：=mg，得GM=R2g．从开始制动到飞船着陆，经过时间为t，则t=，得t=．14．火箭内平台上放有测试仪器，火箭从地面起动后，以加速度g/2竖直向上做匀加速直线运动。升到某一高度时，测试仪器对平台的压力为起动前压力的17/18，已知地球半径为R，求此时火箭离地面的高度（g为地面附近的重力加速度）。解：取测试仪为研究对象，由物体的平衡条件和牛顿第二定律有：由题意知，则又∴，解得15.地球可视为球体，其自转周期为T。在它的两极处，用弹簧秤测得其物体重为P-9-\n。在它的赤道上，用弹簧秤测得同一物体重为0.9P，则地球的平均密度是多少？解析：只有在两极处，重力等于地球对物体的万有引力；在地球的其他地方，重力都小于地球对物体的万有引力。由于重力与地球对物体的万有引力差别极小，所以通常近似视为重力等于地球对物体的万有引力。解：设被测物体的质量为m，地球的质量为M，半径为R；在两极处时物体的重力等于地球对物体的万有引力。在赤道上，因地球自转物体做匀速圆周运动，地球对物体的万有引力和弹簧秤对物体的拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律有：由以上两式解得地球的质量为：根据数学知识可知地球的体积为根据密度的定义式可得地球的平均密度为16.某行星一昼夜运动时间T0=8h，若用一弹簧秤去测量同一物体的重力，结果在行星赤道上比在两极处小9%，设想该行星的自转角速度加快到某一值时，在赤道上的物体将完全失重，则这时行星的自转周期为 h。解：解法一：在行星的两极处，弹簧秤的示数为物体受到行星的万有引力F，在赤道处的示数为F'，由题意可知 F-F'= ① 当行星自转的角速度加快后，在赤道上的物体完全失重，则F'=0，有 F= ② 由题意可知 F-F'=0.09F ③ 由①式和③式可得：0.09F= ④ 由②式和④式得 T=0.3T0=2.4h 解法二：由题意可知，物体在赤道处的失重部分提供其做匀速圆周运动所需要的向心力，即有： 0.09F=， 每个行星都有一个第一宇宙速度v1（就是在行星表面所受到的万有引力提供向心力时的速度），且-9-\n 当行星自转的角速度增大到赤道上的物体完全失重时，赤道上物体的线速度也就是第一宇宙速度，故此时的周期T==0.3T0=2.4h。17.两颗靠得较近的天体称为双星。宇宙中有某一对双星，质量分别为m1、m2，它们以两者连线上某点为圆心，各自做匀速圆周运动，已知两双星间距离为L，不考虑其他星球对它们的影响．求：两颗星体的轨道半径和运动的周期分别为多少?解：答；‘：18．某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星，试问，春分那天（太阳光直射赤道）在日落12小时内有多长时间该观察者看不见此卫星？已知地球半径为R，地球表面处的重力加速度为g,地球自转周期为T，不考虑大气对光的折射。解：设所求的时间为t，用m、M分别表示卫星和地球的质量，r表示卫星到地心的距离.有太阳光EOSARrθ春分时，太阳光直射地球赤道，如图所示，图中圆E表示赤道，S表示卫星，A表示观察者，O表示地心.由图1可看出当卫星S绕地心O转到图示位置以后（设地球自转是沿图中逆时针方向），其正下方的观察者将看不见它.据此再考虑到对称性，有，，由以上各式可解得，19.科学家在地球轨道外侧发现了一颗绕太阳运行的小行星，经过观测该小行星每隔t时间与地球相遇一次，已知地球绕太阳公转半径是R，周期是T，设地球和小行星都是圆轨道，求小行星与地球的最近距离。解：设小行星绕太阳周期为T/，T/>T,地球和小行星没隔时间t相遇一次，则有设小行星绕太阳轨道半径为R/,万有引力提供向心力有-9-\n同理对于地球绕太阳运动也有由上面两式有所以当地球和小行星最近时20.设想宇航员完成了对火星表面的科学考察任务，乘坐返回舱返回围绕火星做圆周运动的轨道舱，如图所示。为了安全，返回舱与轨道舱对接时，必须具有相同的速度。已知返回舱返回过程中需克服火星的引力做功，返回舱与人的总质量为m，火星表面的重力加速度为g，火星的半径为R，轨道舱到火星中心的距离为r，不计火星表面大气对返回舱的阻力和火星自转的影响，则该宇航员乘坐的返回舱至少需要获得多少能量才能返回轨道舱？解：返回舱与人在火星表面附近有：（2分）设轨道舱的质量为m0，速度大小为v，则：（2分）解得宇航员乘坐返回舱与轨道舱对接时，具有的动能为（2分）因为返回舱返回过程克服引力做功所以返回舱返回时至少需要能量21.计划发射一颗距离地面高度为地球半径R0的圆形轨道地球卫星,卫星轨道平面与赤道片面重合，已知地球表面重力加速度为g.（1）求出卫星绕地心运动周期T（2）设地球自转周期T0,该卫星绕地旋转方向与地球自转方向相同，则在赤道上一点的人能连续看到该卫星的时间是多少？解：（1）A1A2B1B2O（2）设人在B1位置刚好看见卫星出现在A1位置，最后在B2位置看到卫星从A2位置消失，OA1=2OB1有∠A1OB1=∠A2OB2=π/3从B1到B2时间为t-9-\n则有22.宇宙员在月球表面完成下面实验：在一固定的竖直光滑圆弧轨道内部最低点静止一质量为m的小球（可视为质点）如图所示，当施加给小球一瞬间水平冲量I时，刚好能使小球在竖直面内做完整圆周运动.已知圆弧轨道半径为，月球的半径为R，万有引力常量为G.若在月球表面上发射一颗环月卫星，所需最小发射速度为多大？轨道半径为2R的环月卫星周期为多大？解：设月球表面重力加速度为g，月球质量为M.在圆孤最低点对小球有：I=mv0……①（2分）∵球刚好完成圆周运动，∴小球在最高点有…………②（2分）从最低点至最高低点有：……③（2分）由①②③可得（2分）∵在月球发射卫星的最小速度为月球第一宇宙速度∴（2分）当环月卫星轨道半径为2R时，有……④（2分）……⑤（2分）将黄金代换式GM=gR2代入⑤式（2分）（2分）-9-
