天津市各地市2022年高考数学最新联考试题分类汇编（8）立体几何一、选择题:(5)（天津市和平区2022届高三第二学期第一次质量调查文）已知正四棱柱ABCD—A1B1ClD1中，AA1=2AB，E是AA1的中点，则异面直线D1C与BE所成角的余弦值为(A)(B)(C)（D）【答案】B1．（天津市新华中学2022届高三第二次月考文）如图，是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图，则该几何体的体积是A.24B.12C.8D.4【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体是有两个相同的直三棱柱构成，三棱柱的高为4，三棱柱的底面三角形为直角三角形，两直角边分别为，所以三角形的底面积为，所以三棱柱的体积为，所以该几何体的体积为，选B.二、填空题:正视图俯视图1.51.52232222侧视图第10题图10．（天津市十二区县重点中学2022年高三毕业班联考一）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为.13\n【答案】10.(天津市六校2022届高三第二次联考理)一个几何体的三视图如上图所示，且其侧视图为正三角形，则这个几何体的体积为。10.若某几何的三视图（单位：）如下图所示,此几何体的体积是▲.(10)（天津市和平区2022届高三第二学期第一次质量调查文）已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位cm)，可得这个几何体的体积是cm3.13\n【答案】1210.（天津市南开中学2022届高三第四次月考理）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：cm2）为。【答案】10.（天津市2022年滨海新区五所重点学校高三毕业班联考理）右图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积大小为.10．【答案】由三视图可知，该几何体时一个边长为2，2,1的长方体挖去一个半径为1的半球。所以长方体的体积为，半球的体积为，所以该几何体的体积为。三、解答题:17．（天津市十二区县重点中学2022年高三毕业班联考一理）（本小题满分13分）如图，四棱柱的底面是平行四边形，且，，，为的中点，平面．（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）若，试求异面直线与13\n所成角的余弦值．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求二面角的余弦值.17.解（Ⅰ）依题意，所以是正三角形，……1分（Ⅰ）（Ⅱ）解法2：以为原点，过且垂直于的直线为轴，所在直线为轴、所在直线为建立右手系空间直角坐标系……1分设（），则……2分13\n（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，平面的一个法向量为又，设平面的法向量则得……11分设二面角的平面角为，且为锐角则所以二面角的余弦值为……13分17．（天津市十二区县重点中学2022年高三毕业班联考一文）(本小题满分13分）已知在四棱锥中，,,，分别是的中点，(Ⅰ)求证；13\n(Ⅱ)证明；(Ⅲ)若，求二面角的大小.17．(Ⅰ)证明:由已知得，故是平行四边形，所以，---------1分因为，所以,---------2分由及是的中点，得,---------3分又因为,所以.---------4分17．（天津市新华中学2022届高三第二次月考文）如图，为等边三角形，为矩形，平面平面，，、、分别为、、中点，。13\n（1）求与平面所成角；（2）求证：；（3）求多面体的体积。解：（1）取中点，连、∵平面平面，交线为∵正∵平面即为所求。（2）∵正∵是中点∵平面平面，交线为平面平面13\n平面（3）17.(天津市六校2022届高三第二次联考理)如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中∠ACB=90°，M，N分别为A1B，B1C1的中点，BC=AA1=2AC=2，求证：(1)求三棱柱C1-A1CB的体积；(2)求直线A1C与直线MB1所成角的余弦值；(3)求平面B1MN与平面A1CB所成锐二面角的余弦值。17.解:(1)--------------4(2)------------8(3)------------------1317．(天津市六校2022届高三第二次联考文)(本小题满分13分)如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱的中点,，，.13\n（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正切值；（Ⅲ）求直线与所成角的余弦值.17.（1）∵，为的中点，H又∵平面平面，且平面平面，平面平面-------4分（2）连接，取中点，连接∵是的中点，是的中点，∥由（1）知平面，平面是在平面内的射影即为与平面所成角∵∥，，为的中点，四边形为矩形，，又∵中，直线与平面所成角的正切值为-------9分(3)由（2）知∥直线与所成角即为直线与所成角连接，中，中，又中，13\n直线与所成角的余弦值为-------13分17.（天津市南开中学2022届高三第四次月考理）（本小题13分）如图，已知四棱锥E－ABCD的底面为菱形，且∠ABC＝60°，AB＝EC＝2，AE＝BE＝（1）求证：平面EAB⊥平面ABCD（2）求二面角A－EC－D的余弦值17.解：（1）证明：取AB的中点O，连接EO，CO△AEB为等腰直角三角形∴EO⊥AB，EO＝1又∵AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，，又∵EO⊥平面ABCD，又EO平面EAB，∴平面EAB⊥平面ABCD（2）以AB的中点O为坐标原点，OB所在直线为y轴，OE所在直线为z轴，如图建系则，，＝（0，2，0）设平面DCE的法向量为，则，即，解得：同理求得平面EAC的一个法向量为13\n，所以二面角A－EC－D的余弦值为17.（天津市2022年滨海新区五所重点学校高三毕业班联考理）（本题满分13分）如图在四棱锥中,底面是边长为的正方形,侧面底面，FEDCBAP且,设、分别为、的中点．(Ⅰ)求证：//平面；(Ⅱ)求证：面平面；(Ⅲ)求二面角的正切值．17．法一：(Ⅰ)证明：为平行四边形连结，为中点，为中点∴在中// ．．．．．．．．．．．．．．．．．．..2分且平面，平面∴．．．．．．．．．．．．．．．．．4分(Ⅱ)证明：因为面面 平面面 为正方形，，平面 所以平面 ∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分又，所以是等腰直角三角形，且 即．．．．．．．．．．．．．．．6分 ，且、面 面．．．．．．．．．．．．７分又面 面面．．．．．．．8分(Ⅲ)【解】：设的中点为,连结,,则由(Ⅱ)知面, ，面，，是二面角的平面角．．．．．．．．．．．12分中， 13\n 故所求二面角的正切值为．．．．．．．．．．．13分（Ⅰ）证明：易知平面的法向量为而,且,∴//平面.．．．．．．．．．．．．．6分(Ⅱ)证明：∵,∴,∴,从而,又,,∴,而,∴平面平面．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分13\n13
