上海市各地市2022年高考数学最新联考试题分类汇编（8）立体几何一、选择题:16、（虹口区2022届高三一模）已知、、是空间三条不同的直线，下列命题中正确的是（）如果，．则．如果，．则、、共面．如果，．则．如果、、共点．则、、共面．【答案】A【答案】C二、填空题:11．（上海市八校2022届高三下学期联合调研理）如图为一几何体的的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD=PD＝6，CR=SC，AQ=AP，点S,D,A,Q及P,D,C,R共线，沿图中虚线将它们折叠，使P，Q，R，S四点重合，则需要________个这样的几何体，就可以拼成一个棱长为12的正方体。【答案】2410．（上海市八校2022届高三下学期联合调研文）如图为一几何体的的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD=PD＝6，CR=SC，AQ=AP，点S,D,A,Q及P,D,C,R共线，沿图中虚线将它们折叠，使P，Q，R，S四点重合，则这样的几何体的体积为________。【答案】7210．（上海市黄浦区2022年4月高考二模理）已知是球面上三点，且，若球心到平面的距离为，则该球的表面积为__________.12\n【答案】7.（上海市闵行区2022年高考二模理）一个圆锥的底面积为，且该圆锥的母线与底面所成的角为，则该圆锥的侧面积为．【答案】三、解答题:19．（上海市黄浦区2022年4月高考二模理）（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.ABCDA1B1ED1C1已知正四棱柱的底面边长为2，.（1）求该四棱柱的侧面积与体积；（2）若为线段的中点，求与平面所成角的大小.【解】⑴根据题意可得：在中，高∴⑵过作，垂足为，连结，则平面，∵平面，∴∴在中，就是与平面所成的角∵，∴，又是的中点，∴是的中位线，∴在中∴∴19．（上海市黄浦区2022年4月高考二模文）（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．已知正四棱柱的底面边长为2，且．12\n（1）求该正四棱柱的体积；（2）若为线段的中点，求异面直线与所成角的大小．解：（1）在正四棱柱中，∵平面，平面，∴，故，………………3分∴正四棱柱的体积为．………………6分（2）设是棱中点，连，在△中，∵分别为线段的中点，∴∥，且，∴就是异面直线与所成的角．……8分∵平面ABCD，平面，∴，又∥，∴，……………………10分∵，∴，故．所以异面直线与所成角的大小为．…………………………12分ABCEC1A1B1F20．（上海市闵行区2022年高考二模理）（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分．如图，在直三棱柱中，，，，点分别在棱上，且．（1）求四棱锥的体积；（2）求所在半平面与所在半平面所成二面角的余弦值．[解]（1）……7分（2）建立如图所示的直角坐标系，则yABCEC1A1B1Fzx,,,，,……………………2分12\n设平面的法向量为，则，所以……………………………2分平面的法向量为，则所以所在半平面与所在半平面所成二面角的余弦值为．…3分19．（杨浦区2022届高三一模理科）（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．PCDE如图，在三棱锥中，平面，，，,分别是的中点，（1）求三棱锥的体积；（2）若异面直线与所成角的大小为，求的值.19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．(1)由已知得，………2分所以，体积………5分(2)取中点，连接，则，所以就是异面直线与所成的角.………7分由已知，，.………10分在中，，所以，.………12分12\n(其他解法，可参照给分)19．（浦东新区2022届高三一模理科）（本小题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）如图，直三棱柱中，,.（1）求点到平面的距离；（2）求二面角的大小.解：（1），..…3分设点到平面距离为，由.点到平面距离为.……6分20．（嘉定区2022届高三一模理科）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．如图，在三棱锥中，底面，，．（1）求异面直线与所成角的大小；PABC（2）求三棱锥的表面积．20．（本题满分14分，第1小题8分，第2小题6分）（1）取中点，中点，中点，12\n连结，，，则∥，∥，所以就是异面直线与所成的角（或其补角）．…………（2分）GPABCFE连结，则，……（3分），…………（4分）又，所以．…………（5分）在△中，，……（7分）19．（黄浦区2022届高三一模理科）（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．如图所示，在棱长为2的正方体中，,分别为线段,的中点．（1）求异面直线与所成的角；（2）求三棱锥的体积．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．解：（1）连，由、分别为线段、的中点，可得∥，故即为异面直线与所成的角．…………………2分在正方体中，∵平面，平面，∴，在△中，，，∴，∴．所以异面直线EF与BC所成的角为．………6分（2）在正方体中，由平面，平面，可知，∵，是中点，12\n∴，又与相交，∴平面，…………………………9分又，故，所以三棱锥的体积为．……………………………………12分直线与所成角等于直线与所成角．…………………………2分因为垂直于底面,所以,点分别是的中点,在中,,,,…………………………4分即异面直线与所成角的大小为．…………………………6分解法二：以为坐标原点建立空间直角坐标系可得，，，，，…………………………2分直线与所成角为，向量的夹角为…………………………4分12\n又，，即异面直线与所成角的大小为．…………………………6分（说明：两种方法难度相当）所以四棱锥的表面积是144…………………………………………12分20、（崇明县2022届高三一模）（本题14分，第(1)小题6分，第(2)小题8分）ABEODC（文科）如图，四面体中，、分别是、的中点，平面，．（1）求三棱锥的体积；（2）求异面直线与所成角的大小．ABCEDA1D1B1C1（理科）如图，在长方体中,,为中点．（1）求证：；（2）若，求二面角的大小．20、（理科）（1）方法一、以A为坐标原点，以AB、AD、AA112\n分别为x轴、y轴、z轴方向建立空间直角坐标系,设，则，.所以,。（1）因为CO=，AO=1所以。（2）因为O、E为中点，所以OE//CD，所以的大小即为异面直线AE与CD所成角。在直角三角形AEO中，，所以异面直线AE与CD所成角的大小为19、（虹口区2022届高三一模）（本题满分12分）在正四棱锥中，侧棱的长为，与所成的角的大小等于．（1）求正四棱锥的体积；（2）若正四棱锥的五个顶点都在球的表面上，求此球的半径．19、(12分)解：（1）取的中点，记正方形对角线的交点为，连，，，则过．12\n，，又，，得.………………4分，正四棱锥的体积等于（立方单位）．………………8分（2）连，，设球的半径为，则，，在中有，得。…………12分19.（宝山区2022届期末）(本题满分12分)如图，直三棱柱的体积为8，且，∠，E是的中点，是的中点.求异面直线与所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）解：由得，………………………3分取BC的中点F，联结AF，EF，则，所以即是异面直线与所成的角，记为．………………………5分，，，………………………8分12\n，………………………11分因而………………………………………………12分12\n12
