题型练10 大题综合练(二)1.在等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=[an],求数列{bn}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.2.某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示: 原料肥料 ABC甲483乙5510现有A种原料200吨,B种原料360吨,C种原料300吨,在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料,产生的利润为2万元;生产1车皮乙种肥料,产生的利润为3万元.分别用x,y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.(1)用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求出此最大利润.3.7\n为了调查高一新生中女生的体重情况,校卫生室随机选取20名女生作为样本测量她们的体重(单位:kg),获得的所有数据按照区间(40,45],(45,50],(50,55],(55,60]进行分组,得到频率分布直方图如图所示.已知样本中体重在区间(45,50]上的女生数与体重在区间(50,60]上的女生数之比为4∶3.(1)求a,b的值;(2)从样本中体重在区间(50,60]上的女生中随机抽取两人,求体重在区间(55,60]上的女生至少有一人被抽中的概率.4.如图,四边形ABCD为矩形,DA⊥平面ABE,AE=EB=BC=2,BF⊥平面ACE于点F,且点F在CE上.(1)求证:AE⊥BE;(2)求三棱锥D-AEC的体积;(3)设点M在线段AB上,且满足AM=2MB,试在线段CE上确定一点N,使得MN∥平面DAE.7\n5.(2022山东,文21)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,椭圆C截直线y=1所得线段的长度为2.(1)求椭圆C的方程;(2)动直线l:y=kx+m(m≠0)交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M.点N是M关于O的对称点,☉N的半径为|NO|.设D为AB的中点,DE,DF与☉N分别相切于点E,F,求∠EDF的最小值.6.已知函数f(x)=alnx-ax-3(a∈R).(1)若a=-1,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°,对于任意的t∈[1,2],函数g(x)=x3+x2在区间(t,3)内总不是单调函数,求m的取值范围;(3)求证:×…×(n≥2,n∈N*).7\n##题型练10 大题综合练(二)1.解(1)设数列{an}的公差为d,由题意有2a1+5d=4,a1+5d=3,7\n解得a1=1,d=.所以{an}的通项公式为an=.(2)由(1)知,bn=.当n=1,2,3时,1≤<2,bn=1;当n=4,5时,2≤<3,bn=2;当n=6,7,8时,3≤<4,bn=3;当n=9,10时,4≤<5,bn=4.所以数列{bn}的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24.2.解(1)由已知,x,y满足的数学关系式为该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分:图1图2(2)设利润为z万元,则目标函数为z=2x+3y.考虑z=2x+3y,将它变形为y=-x+,这是斜率为-,随z变化的一族平行直线,为直线在y轴上的截距,当取最大值时,z的值最大.又因为x,y满足约束条件,所以由图2可知,当直线z=2x+3y经过可行域上的点M时,截距最大,即z最大.解方程组得点M的坐标为(20,24).所以zmax=2×20+3×24=112.答:生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大,且最大利润为112万元.3.解(1)样本中体重在区间(45,50]上的女生有a×5×20=100a(人),样本中体重在区间(50,60]上的女生有(b+0.02)×5×20=100(b+0.02)(人),依题意,有100a=×100(b+0.02),即a=×(b+0.02).①根据频率分布直方图可知(0.02+b+0.06+a)×5=1,②解①②得:a=0.08,b=0.04.(2)样本中体重在区间(50,55]上的女生有0.04×5×20=4人,分别记为A1,A2,A3,A4,体重在区间(55,60]上的女生有0.02×5×20=2人,分别记为B1,B2.从这6名女生中随机抽取两人共有15种情况:7\n(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,A4),(A2,B1),(A2,B2),(A3,A4),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),(B1,B2).其中体重在(55,60]上的女生至少有一人共有9种情况:(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),(B1,B2).记“从样本中体重在区间(50,60]上的女生随机抽取两人,体重在区间(55,60]上的女生至少有一人被抽中”为事件M,则P(M)=.4.(1)证明∵AD⊥平面ABE,AD∥BC,∴BC⊥平面ABE,∴AE⊥BC.又BF⊥平面ACE,∴BF⊥AE,∵BC∩BF=B,∴AE⊥平面BCE,又BE⊂平面BCE,∴AE⊥BE.(2)解在△ABE中,过点E作EH⊥AB于点H,则EH⊥平面ACD.由已知及(1)得EH=AB=,S△ADC=2.故VD-AEC=VE-ADC=×2.(3)解在△ABE中过点M作MG∥AE交BE于点G,在△BEC中,过点G作GN∥BC交BC于点N,连接MN,则由,得CN=CE.∵MG∥AE,MG⊄平面ADE,AE⊂平面AED,∴MG∥平面ADE.∵GN∥BC,BC∥AD,∴GN∥平面ADE.∴平面MGN∥平面ADE.又MN⊂平面MGN,∴MN∥平面ADE.∴当点N为线段CE上靠近点C的一个三等分点时,MN∥平面ADE.5.解(1)由椭圆的离心率为,得a2=2(a2-b2),又当y=1时,x2=a2-,得a2-=2,所以a2=4,b2=2.因此椭圆方程为=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).联立方程得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-4=0,由Δ>0得m2<4k2+2.(*)且x1+x2=-,因此y1+y2=,所以D,又N(0,-m),所以|ND|2=,整理得|ND|2=,因为|NF|=|m|,所以=1+.令t=8k2+3,t≥3,故2k2+1=,7\n所以=1+=1+.令y=t+,所以y'=1-.当t≥3时,y'>0,从而y=t+在[3,+∞)上单调递增,因此t+,等号当且仅当t=3时成立,此时k=0,所以≤1+3=4,由(*)得-<m<且m≠0.故.设∠EDF=2θ,则sinθ=.所以θ的最小值为,从而∠EDF的最小值为,此时直线l的斜率是0.综上所述,当k=0,m∈(-,0)∪(0,)时,∠EDF取到最小值.6.(1)解当a=-1时,f'(x)=(x>0),由f'(x)>0,得x∈(1,+∞);由f'(x)<0,得x∈(0,1),∴函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞);单调递减区间为(0,1).(2)解∵f'(x)=(x>0),∴f'(2)=-=1.∴a=-2,f(x)=-2lnx+2x-3,g(x)=x3+x2-2x.∴g'(x)=3x2+(m+4)x-2.∵g(x)在区间(t,3)内不是单调函数,且g'(0)=-2,∴由题意知,对于任意的t∈[1,2],g'(t)<0恒成立,∴∴-<m<-9.(3)证明由(1)知,当x∈(1,+∞)时,f(x)>f(1),即-lnx+x-1>0,∴0<lnx<x-1对一切x∈(1,+∞)恒成立.∵n≥2,n∈N*,则有0<lnn<n-1,∴0<,∴×…××…×(n≥2,n∈N*).∴×…×(n≥2,n∈N*).7
