题型练9 大题综合练(一)1.设f(x)=2sin(π-x)sinx-(sinx-cosx)2.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g的值.2.某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),n表示购机的同时购买的易损零件数.(1)若n=19,求y与x的函数解析式;(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值;(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件?3.6\n如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,∠ABC=,点D,E在线段AC上,且AD=DE=EC=2,PD=PC=4,点F在线段AB上,且EF∥BC.(1)证明:AB⊥平面PFE;(2)若四棱锥P-DFBC的体积为7,求线段BC的长.4.已知{an}是等差数列,其前n项和为Sn,{bn}是等比数列,且a1=b1=2,a4+b4=27,S4-b4=10.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;(2)记Tn=a1b1+a2b2+…+anbn,n∈N*,证明Tn-8=an-1bn+1(n∈N*,n>2).5.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x-y-2=0,抛物线C:y2=2px(p>0).(1)若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程;(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.①求证:线段PQ的中点坐标为(2-p,-p);②求p的取值范围.6\n6.已知曲线f(x)=在点(1,f(1))处的切线与y轴垂直,F(x)=xexf'(x).(1)求k的值和F(x)的单调区间;(2)已知函数g(x)=-x2+2ax(a为正实数),若对于任意x2∈[0,1],总存在x1∈(0,+∞)使得g(x2)<F(x1),求实数a的取值范围.6\n##题型练9 大题综合练(一)1.解(1)由f(x)=2sin(π-x)sinx-(sinx-cosx)2=2sin2x-(1-2sinxcosx)=(1-cos2x)+sin2x-1=sin2x-cos2x+-1=2sin-1,由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z).(2)由(1)知f(x)=2sin-1,把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=2sin-1的图象,再把得到的图象向左平移个单位,得到y=2sinx+-1的图象,即g(x)=2sinx+-1.所以g=2sin-1=.2.解(1)当x≤19时,y=3800;当x>19时,y=3800+500(x-19)=500x-5700.所以y与x的函数解析式为y=(x∈N).(2)由柱状图知,需更换的零件数不大于18的频率为0.46,不大于19的频率为0.7,故n的最小值为19.(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件,则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3800,20台的费用为4300,10台的费用为4800,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为(3800×70+4300×20+4800×10)=4000.若每台机器在购机同时都购买20个易损零件,则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4000,10台的费用为46\n500,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为(4000×90+4500×10)=4050.比较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件.3.(1)证明由DE=EC,PD=PC知,E为等腰△PDC中DC边的中点,故PE⊥AC.又平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,PE⊂平面PAC,PE⊥AC,所以PE⊥平面ABC,从而PE⊥AB.因∠ABC=,EF∥BC,故AB⊥EF.从而AB与平面PFE内两条相交直线PE,EF都垂直,所以AB⊥平面PFE.(2)解设BC=x,则在Rt△ABC中,AB=,从而S△ABC=AB·BC=.由EF∥BC知,,得△AFE∽△ABC,故,即S△AFE=S△ABC.由AD=AE,S△AFD=S△AFE=S△ABC=S△ABC=,从而四边形DFBC的面积为S四边形DFBC=S△ABC-S△AFD=.由(1)知,PE⊥平面ABC,所以PE为四棱锥P-DFBC的高.在直角△PEC中,PE==2.体积VP-DFBC=·S四边形DFBC·PE=·2=7,故得x4-36x2+243=0,解得x2=9或x2=27,由于x>0,可得x=3或x=3.所以,BC=3或BC=3.4.(1)解设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.由a1=b1=2,得a4=2+3d,b4=2q3,S4=8+6d.由条件,得方程组解得所以an=3n-1,bn=2n,n∈N*.(2)证明由(1)得Tn=2×2+5×22+8×23+…+(3n-1)×2n,①2Tn=2×22+5×23+…+(3n-4)×2n+(3n-1)×2n+1.②由①-②,得-Tn=2×2+3×22+3×23+…+3×2n-(3n-1)×2n+1=-(3n-1)×2n+1-2=-(3n-4)×2n+1-8,即Tn-8=(3n-4)×2n+1,而当n>2时,an-1bn+1=(3n-4)×2n+1.所以,Tn-8=an-1bn+1,n∈N*,n>2.5.解(1)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为,由点在直线l:x-y-2=0上,得-0-2=0,即p=4.所以抛物线C的方程为y2=8x.(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),线段PQ的中点M(x0,y0).因为点P和Q关于直线l对称,所以直线l垂直平分线段PQ,于是直线PQ的斜率为-1,则可设其方程为y=-x+b.①证明:由消去x得y2+2py-2pb=0.(*)因为P和Q是抛物线C上的相异两点,所以y1≠y2,从而Δ=(2p)2-4×(-2pb)>0,化简得p+2b>0.方程(*)的两根为y1,2=-p±,从而y0==-p.因为M(x0,y0)在直线l上,所以x0=2-p.因此,线段PQ的中点坐标为(2-p,-p).②因为M(2-p,-p)在直线y=-x+b上,所以-p=-(2-p)+b,即b=2-2p.由①知p+2b>0,于是p+2(2-2p)>0,6\n所以p<.因此,p的取值范围是.6.解(1)f'(x)=,f'(1)==0,∴k=1.∴F(x)=xexf'(x)=1-xlnx-x,∴F'(x)=-lnx-2.由F'(x)=-lnx-2>0⇒0<x<,由F'(x)=-lnx-2<0⇒x>,∴F(x)的单调增区间为,单调减区间为.(2)∵对于任意x2∈[0,1],总存在x1∈(0,+∞),使得g(x2)<F(x1),∴g(x)max<F(x)max.由(1)知,当x=时,F(x)取得最大值F=1+.对于g(x)=-x2+2ax,其对称轴为x=a.①当0<a≤1时,g(x)max=g(a)=a2,∴a2<1+,从而0<a≤1;②当a>1时,g(x)max=g(1)=2a-1,∴2a-1<1+.从而1<a<1+.综上可知:0<a<1+.6
