9．4二面角及平面的垂直一、明确复习目标1.掌握两平面垂直的判定和性质，并用以解决有关问题2.掌握二面角及其平面角的概念，能灵活作出二面角的平面角，并能求出大小3．在研究垂直和求二面角的问题时，要能灵活运用三垂线定理及逆定理二．建构知识网络1.二面角、平面角的定义——；范围：.两个平面相交成900二面角时，叫两个平面垂直.2．判定两平面垂直的方法：①利用“面面垂直的定义”，即证“两平面所成的二面角是直二面角；②利用“面面垂直的判定定理”，即由“线面垂直Þ面面垂直”.3．二面角的平面角的作法：①直接利用定义；②利用三垂线定理及其逆定理;③作棱的垂面.三、双基题目练练手1.在三棱锥A—BCD中，假设AD⊥BC，BD⊥AD，△BCD是锐角三角形，那么必有()A.平面ABD⊥平面ADCB.平面ABD⊥平面ABCC.平面ADC⊥平面BCD15/15\nD.平面ABC⊥平面BCD2.设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面.考察以下命题，其中正确的命题是（）3.设两个平面α、β，直线l，以下三个条件：①l⊥α;②l∥β;③α⊥β,假设以其中两个作为条件，另一个作为结论，可构成正确命题的个数是（）A.3B.2C.1D.04.P为△ABC所在平面外的一点，那么点P在此三角形所在平面上的射影是△ABC垂心的充分必要条件是A.PA=PB=PCB.PA⊥BC，PB⊥AC()C.点P到△ABC三边所在直线距离相等D.平面PAB、平面PBC、平面PAC与△ABC所在的平面所成的角相等5．如图在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足__________时，平面MBD⊥平面PCD.6.夹在互相垂直的两个平面之间长为2a的线段和这两个平面所成的角分别为45°和30°，过这条线段的两个端点分别向这两个平面的交线作垂线，那么两垂足间的距离为_____________.◆答案提示：1-4.CBBB；5.MD⊥PC或MB⊥PC;6.a15/15\n四、典型例题做一做【例1】如以以下图，在三棱锥S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC.（1）求证：AB⊥BC；（2）假设设二面角S—BC—A为45°，SA=BC，求二面角A—SC—B的大小.ABCSEH证明（1）：作AH⊥SB于H，∵平面SAB⊥平面SBC，∴AH⊥平面SBC.，又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC.SA∩SB=S，∴BC⊥平面SAB.∴BC⊥AB.解（2）：∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC.∴平面SAB⊥BC，∠SBA为二面角S—BC—A的平面角.∴∠SBA=45°.设SA=AB=BC=a.作AE⊥SC于E，连结EH.由(1)知AH⊥平面SBC,∴AE在面SBC内的射影EH⊥SC，∠AEH为二面角A—SC—B的平面角，AH=a，AC=a，SC=a，AE=a，∴sin∠AEH=，二面角A—SC—B为60°.【例2】已知正三棱柱ABC—A1B1C1，假设过面对角线AB1且与另一面对角线BC1平行的平面交上底面A1B1C1的一边A1C1于点D.15/15\n（1）确定D的位置，并证明你的结论；（2）证明：平面AB1D⊥平面AA1D；（3）假设AB∶AA1=，求平面AB1D与平面AB1A1所成角的大小.C1_B1_A1_BCA分析：此题结论不定，是“开放性”的，点D位置确实定如果仅凭已知条件推理难以得出.由于AB1与BC1这两条面对角线是相邻二侧面上的异面直线，于是可考虑将BC1沿BA平行移动，BC1取AE1位置，那么平面AB1E1一定平行BC1，问题可以解决.（1）解：如以以下图，将正三棱柱ABC—A1B1C1补成一直平行六面体ABCE—A1B1C1E1，由AE1∥BC1，AE1平面AB1E1，知BC1∥平面AB1E1，故平面AB1E1应为所求平面，此时平面AB1E1交A1C1于点D，由平行四边形对角线互相平行性质知，D为A1C1的中点.AE1B1C1BCEDA1（2）证明：连结B1D，那么B1D⊥A1C1;从直三棱柱定义知AA1⊥底面A1B1C1，∴AA1⊥B1D,又A1D∩AA1=A1，∴B1D⊥平面AA1D，又B1D平面AB1D，∴平面AB1D⊥平面AA1D.（3）解：因为平面AB1D∩平面AA1D=AD，所以过A1作A1H⊥AD于点H.作HF⊥AB1于点F，连结A1F，从三垂线定理知A1F⊥AB1.15/15\n故∠A1FH是二面角A1—AB1—D的平面角.设侧棱AA1=1，侧棱AB=.于是AB1==.在Rt△AB1A1中，A1F===，在Rt△AA1D中，AA1=1，A1D=A1C1=，AD==. ∴A1H==.在Rt△A1FH中，sin∠A1FH==，∴∠A1FH=45°.因此知平面AB1D与平面AB1A1所成角为450或1350.【例3】在四棱锥P-ABCD中，已知ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，设PA=AB=1，BC=2，求二面角B-PC-D的大小.解析1.定义法 过D作DE⊥PC于E，过E作EF⊥PC，交BC于F，连接FD，那么是所求二面角B-PC-D的平面角.求解二面角B-PC-D的大小，只需解△DEF即可.所求角为15/15\nBDPCAEF解析一解析2.垂面法 易证面PAB⊥面PBC，过A作AM⊥BP于M，显然AM⊥面PBC，从而有AM⊥PC，同法可得AN⊥PC，再由AM与AN相交与A得PC⊥面AMN.设面AMN交PC于Q，那么为二面角B-PC-D的平面角；∠MAN为它的补角，在三角形AMN中可解.计算较繁.BDPCAＭＮＱ解析二解析3.利用三垂线求解把四棱锥P-ABCD补成如图的直三棱柱PAB-EDC，显然二面角E-PC-D与二面角D-PC-B互补，转化为求二面角E-PC-D.易证面PEDA⊥PDC，过E作EF⊥PD于F，显然PF⊥面PDC，在面PCE内，过E作EG⊥PC于G，连接GF，由三线得GF⊥PC即为二面角E-PC-D的平面角，只需解△EFG即可.15/15\nBDPCA解析三EFG解析4.射影面积法。由解析3知，△PFC为△PEC在面PDC上的射影，由射影面积公式得，所求角为BDPCA解析四EFG解析5.在面PDC内，分别过D、B作DE⊥PC于E，BF⊥PC于F，连接EF即可.利用平面知识求BF、EF、DE的长度，再利用空间余弦定理求出q即可.BDPCA解析五ＥＦ◆思悟提炼：想一想求二面角都用了哪些方法：【例4】由一点S引不共面的三条射线SA、SB、SC，设ÐASB=a，ÐBSC=b，ÐASC=g，其中a，b，g均为锐角，那么平面ASB^平面BSC的充要条件是cosa×cosb=cosg．证明：必要性．如图(1),过点A作AD^SB于D.15/15\n∵平面ASB^平面BSC,∴AD^平面BSC．过D作DE^SC于E，连AE，那么AE^SC．在Rt△ADS中，cosa=；在Rt△DES中，cosb=；(1)gbaESDABC例3．在Rt△AES中，cosg=，由此可得cosa×cosb=×==cosg．必要性得证．充分性．如图2，过点A作AA1^SB于A1，过点A1作A1C1^SC于C1.在Rt△AA1S中，cosa=；在Rt△A1C1S中，cosb=;∵cosg=cosa×cosb=×=,∴SC1=SA×cosg．(2)bgaC1¢C1SA1ABC过A作AC1¢^SC，垂足为C1¢，在Rt△AC1¢S中，SC1¢=SA×cosg．15/15\n由此得SC1¢=SC1，即C1¢与C1重合，故SC^AC1．而SC^A1C1，且AC1IA1C1=C1，∴SC^平面AA1C1，∴SC^AA1．又∵SB^AA1，SBISC=S，∴AA1^平面BSC，而AA1Ì平面ASB，∴平面ASB^平面BSC．充分性得证．五．提炼总结以为师1.注意线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化和应用.2．求二面角的方法是：①找（或作）平面角，②用射影法:cosθ=；③用异面直线上两点间距离公式.3．作平面角的方法：（1）定义法（2）三垂线定理；（3）垂面法.同步练习9.4二面角、面面垂直【选择题】1.PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A、B的任一点，那么以下关系不正确的选项是()APA⊥BCBAC⊥PBCPC⊥BCDBC⊥平面PAC15/15\n2．在边长为a的正三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B—AD—C后，BC＝a，且二面角B—AD—C的大小为（）A．30°B.45°C．60°D．90°3．在1200的二面角内，有一点P到面α、β的距离分别是6和9，那么点P到棱l的距离等于（）A．3B.C.2D.12【填空题】4.设a、b是异面直线，α、β是两个平面，且a⊥α，b⊥β，aβ，bα，那么当_______（填上一种条件即可）时，有α⊥β.5．(2022浙江)设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E(如图)．现将△ADE沿DE折起，使二面角A－DE－B为45°，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，那么M、N的连线与AE所成角的大小等于_________．6．一条直线与直二面角的两个面所成的角分别是α和β，那么α＋β的范围是_____．◆答案提示：1-3.BCB;4.a⊥b;5.;6.[0°，90°]；提示:3.l⊥平面PAB于C,PC是ΔPAB外接圆直径，用余、正弦定理.【解答题】15/15\n7．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形ABC为等腰直角三角形，且∠ABC=90ο，E为C1C的中点，F是BB1上是BF=BB1，AC=AA1=2,求平面EFA与面ABC所成角的大小答案：arctan8．已知矩形ABCD中,AB=1,BC=(>0),PA⊥面ABCD,PA=1（1）问BC边上是否存在一点Q，使得PQ⊥QD并且说明理由（2）假设BC边上有且只有一个点Q使得PQ⊥QD，求这时二面角Q—PD—A大小DBACPQ解：（1）a=2时只有一点；a＞2时有两点；a＜2时没有点；（2）arctan9．（2022天津）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.（Ⅰ）证明PA//平面EDB；（Ⅱ）证明PB⊥平面EFD；（Ⅲ）求二面角C—PB—D的大小.15/15\n（1）证明：连结AC，AC交BD于O，连结EO.∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点在中，EO是中位线，∴PA//EO而平面EDB且平面EDB，所以，PA//平面EDB（2）证明：∵PD⊥底面ABCD且底面ABCD，∴∵PD=DC，可知是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，∴.①同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC.∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC.而平面PDC，∴.②由①和②推得平面PBC.而平面PBC，∴又且，所以PB⊥平面EFD.15/15\n（3）解：由（2）知，，故是二面角C—PB—D的平面角.由（2）知，.设正方形ABCD的边长为a，那么,，，.在中，.在中，,∴，二面角C—PB—D的大小为.10．（2022福建)如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.（Ⅰ）求证AE⊥平面BCE；（Ⅱ）求二面角B—AC—E的大小；（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离.15/15\n分析：本小题主要考察直线、直线与平面、二面角及点到平面的距离等根底知识，考察空间想象能力，逻辑思维能力与运算能力.解法一：（Ⅰ）平面ACE..∵二面角D—AB—E为直二面角，且，平面ABE.（Ⅱ）连结BD交AC于C，连结FG，∵正方形ABCD边长为2，∴BG⊥AC，BG=，平面ACE，由三垂线定理的逆定理得FG⊥AC.是二面角B—AC—E的平面角.由（Ⅰ）AE⊥平面BCE，又，∴在等腰直角三角形AEB中，BE=.15/15\n又直角，∴二面角B—AC—E等于（Ⅲ）过点E作交AB于点O.OE=1.∵二面角D—AB—E为直二面角，∴EO⊥平面ABCD.设D到平面ACE的距离为h，平面BCE，∴点D到平面ACE的距离为15/15
