第九章直线、平面、简单几何体知识构造网络9．1平面的性质与直线的位置关系一、明确复习目标1．掌握平面的根本性质，会运用这些性质解决有关共面、共线、共点、交线等问题.2．掌握空间两直线的位置关系，理解异面直线的定义，能证明和判断两条直线是异面直线.能用图形表示两条直线的位置关系，会解决与位置关系有关的问题.3．能进展简单的文字、符号、图形三者之间的转化.二．建构知识网络12/12\n（一）平面的概念和性质1．平面的概念：平面是没有厚薄的，可以无限延伸.2．空间点、线、面的位置关系及表示：要正确运用以下符号：点A,B,C,…;直线a,b,c,…;平面α,β,γ…,,,,,,a∥b,a⊥b,a∥α,a⊥β,α⊥β,α//β,α⊥β,α∩β=a3．平面的根本性质公理1.线的在平面内.用途：判定直线在平面内，验证是否平面．公理2两个平面的交线.用途：①确定两相交平面的交线；②判定点在直线上.公理3及其三个推论:确定平面的条件.注意“确定”即“有且只有一个”的含义．4．所有点都在一个平面内的图形称为平面图形，否那么称为空间图形.（二）空间两条直线1．空间两直线的位置关系有：（1）相交；（2）平行；（3）异面.定义——2公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.12/12\n3等角定理：一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等.推论:两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的角相等.4空间两条异面直线:不同在任何全个平面内.判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.5．异面直线所成的角的求法：找(或)作出过一条直线上一点,于另一直线平直线;或过空间一点与两条直线平行的直线,转化为平面内的角,再用平面几何的方法去求;也可用向量法.注意:两条直线所成的角的范围:.两条异面直线所成的角的范围:.6两条异面直线的公垂线、距离和两条异面直线都垂直且相交的直线，我们称之为异面直线的公垂线.理解：和异面直线都垂直的直线有无数条，公垂线只有一条.两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离．计算方法：①几何法；②向量法12/12\n三、双基题目练练手1.三点确定一个平面的条件是___________；共点的四条直线最多可以确定_______平面；互不相交的三条直线可以确定_______平面.2.判断以下命题真假（1）四边相等且有一个内角是直角的四边形是正方形；（）（2）四点不共面，那么其中任意三点不共线；（）（3）“平面不经过直线”的等价说法是“直线上至多有一个点在平面内”()（4）两个平面有三个共公点，那么这两个平面重合；（）（5）三个平面可以把空间分成四、六、七、八个局部；（）（6）过直线外一点向直线引垂线，有且只有一条；（）（7）异面直线a与c、b与c所成的角相等，那么a与b平行或异面（）（8）过空间任一点一定可以作一条直线与两条异面直线都相交.（）12/12\n3．（2022福建）对平面和共面的直线、以下命题中真命题是()（A）假设那么 （B）假设那么（C）假设那么 （D）假设、与所成的角相等，那么4.直线a、b相交于点O且a、b成60°角，过点O与a、b都成60°角的直线有（）A.1条B.2条C.3条D.4条5．以下各图是正方体或正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，那么PQ与SR一定是异面直线的是6．画出上题图B中平面PQR与下底面的交线.◆答案提示：1．不共线；六个；0个、一个或三个.2．´；Ö；Ö；´；Ö；´；´；´.3.C；4.C5.C四、经典例题做一做12/12\n【例1】用图形表示：a∩b=m,aÌa,bÌb,a∩m=A,b∩m=B,c∩a=P,PÏa,cËb.图略思悟提炼：熟悉图形语言、符号语言之间的互化.提高画图能力.【例2】P是正方体ABCD-A1B1C1D1上一点,(不是端点),求证:过P点有且只有一条直线与直线BC、C1D1相交.证明：依题设，平面BCP与直线C1D1有且只有一个交点，设为Q，过两点Q、P有且只有一条直线，且与BC必相交.PB1C1_D1A1DCBARQ思悟提炼：1.线面相交,有且只有一个交点.一个平面内的直线不平行就相交.【例3】（1）三条直线a,b,c互相平行，且都与直线m相交，求证：这四条直线共面；（2）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N,P,Q,R,S是棱的中点，求证：MNPQRS是正六边形.证明:12/12\n(1)设a,m确定平面α再证b,c在α内.(2)证SR//MQ//NP,且都与RN相交.O_SRQPNMDCD1C1B1A1BA思悟提炼:证明点或线共面的方法：——【例4】如图，已知DABC和DA¢B¢C¢不共面，直线AA¢、BB¢、CC¢两两相交.(1)求证：这三条直线AA¢、BB¢、CC¢交于一点；(2)假设直线AB和A¢B¢、BC和B¢C¢、CA和C¢A¢分别交于P、Q、R，求证：P、Q、R三点共线.ABCA¢B¢C¢PQRS思悟提炼：用平面的根本性质证明空间三点共线、三线共点的方法.【例5】长方体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=a，BC=b，AA1=c，且a>b，求：（1）以下异面直线之间的距离：AB与CC1；AB与A1C1；AB与B1C.12/12\n（2）异面直线D1B与AC所成角的余弦值.AABBCCDD1111EFO解（1）：BC为异面直线AB与CC1的公垂线段，故AB与CC1的距离为b.AA1为异面直线AB与A1C1的公垂线段，故AB与A1C1的距离为c.过B作BE⊥B1C，垂足为E，那么BE为异面直线AB与B1C的公垂线，BE==，即为所求.（2）解法一：连结BD交AC于点O，取DD1的中点F，连结OF、AF，那么OF∥D1B，∴∠AOF就是异面直线D1B与AC所成的角.∵AO=，OF=BD1=，AF=，∴在△AOF中，cos∠AOF==解法二:补图形如下,在ΔBGD1中,∠GBD1为所求角的补角——12/12\n五．提炼总结以为师同步练习9.1平面的性质与直线的位置关系【选择题】1．以下四个命题：（1）分别在两个平面内的两条直线是异面直线（2）和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条（3）和两条异面直线都相交的两条直线必异面（4）假设与是异面直线，与是异面直线，那么与也异面其中真命题个数为（）A.3B.2C.1D.02．在正方体中，、分别是棱和的中点，为上底面的中心，那么直线与所成的角为（）A.300B.450C.600D.9003．AB、CD在平面α内，AB//CD，且AB与CD相距28厘米，EF在平面α外，EF//AB，且EF与AB相距17厘米，EF与平面α相距15厘米，那么EF与CD的距离为（）A.25厘米B.39厘米C.25或39厘米D.15厘米4．已知直线a，如果直线b同时满足条件：12/12\n①a、b异面②a、b所成的角为定值③a、b间的距离为定值，那么这样的直线b有A.1条B.2条C.4条D.无数条（）【填空题】5.互不重合的三个平面的交线可能有 __________条.6.已知a∥c，b与c不平行、a与b不相交，a,b的位置关系是7．在棱长为的正四面体中，相对两条棱间的距离为__________．8．两条异面直线、间的距离是1cm，它们所成的角为600，、上各有一点A、B，距公垂线的垂足都是10cm，那么A、B两点间的距离为_______________．◆答案提示：1-4.DCCD5.0、1、2、3四种.6.异面直线.7.;8..【解答题】ABCDEF9.已知正四面体ABCD中，BC的中点为E，AD的中点为F，连AE、CF.（1）判断AE、CF的位置关系；（2）求AE与CF所成的角的余弦.答案：10.(2022上海春)在长方体中，已知，求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.12/12\n解：连接，那么为异面直线与所成的角.在△中，.异面直线所成的角为.11.如以以下图，四面体ABCD中，E、G分别为BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC=2∶3，DH∶HA=2∶3.求证：EF、GH、BD交于一点.证明：连结GE、HF，∵E、G分别为BC、AB的中点，∴GE∥AC.又∵DF∶FC=2∶3，DH∶HA=2∶3，∴HF∥AC.∴GE∥HF.故G、E、F、H四点共面.又∵EF与GH不能平行，∴EF与GH相交，设交点为O.那么O∈面ABD，O∈面BCD，而平面ABD∩平面BCD=BD.∴EF、GH、BD交于一点.【探索题】设△ABC和△A1B1C1的三对对应顶点的连线AA1、BB1、CC1相交于一点O12/12\n，且===.试求的值.【探索题】解：依题意，因为AA1、BB1、CC1相交于一点O，且==，所以AB∥A1B1，AC∥A1C1，BC∥B1C1.由平移角定理得∠BAC=∠B1A1C1，∠ABC=∠A1B1C1，△ABC∽△A1B1C1，所以=（）2=.12/12
