4.4三角函数的图象解析式一、明确复习目标1.了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，2.会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解Aω、φ的物理意义3.会由图象求y=Asin(ωx+φ)的解析式.二．建构知识网络1．三角函数线[见课本]利用三角函数线可以:比较三角函数值的大小,求取值范围,证明:“假设0<α<那么sinα＜α＜tanα”;画三角函数y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象；2．y=Asin(ωx+φ)的图象：①用五点法作图:五点取法由ωx+=0、、π、、2π来求相应的x值及对应的y值，再描点作图.?????00A0-A0②图象变换：先平移、再伸缩两个程序③A---振幅----周期----频率3．图象的对称性15/15\n①y=sinx图象的对称中心(kπ,0),对称轴x=kπ+;y=cosx呢?②y=tanx图象的对称中心(,0),渐近线x=kπ+;③y=Asin(ωx+φ)图象的对称轴是:ωx+φ=kπ+,即x=?(k∈Z).由ωx+φ=kπ得对称中心为:(,0),k∈Z.4.给出图象确定解析式y=Asin(ωx+φ)的题，一般先找“五点”中的第一零点或第一个最大值点确定ω或φ.三、双基题目练练手1.在（0，2π）内，使sinx＞cosx成立的x的取值范围是()A.（，）∪（π，）B.（，π）C.（，）D.（，π）∪（，）2.函数y=cos（x+）的图象向左平移φ个单位，所得的函数为偶函数，那么的最小值是()A.B.C.D.3.(2022天津)已知函数（、为常数，，）在处取得最小值，那么函数是（ ）A．偶函数且它的图象关于点对称B．偶函数且它的图象关于点对称C．奇函数且它的图象关于点对称15/15\nD．奇函数且它的图象关于点对称4.（2022湖北）假设（）A．B．C．D．5.将函数的图象按向量平移，平移后的图象如以下图，那么平移后的图象所对应函数的解析式是______________6.（2022湖南）设函数f(x)的图象与直线x=a，x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在[a，b]上的面积，已知函数y＝sinnx在[0，]上的面积为（n∈N*），（i）y＝sin3x在[0,]上的面积为 ；（ii）y＝sin（3x－π）＋1在[，]上的面积为 .✿简答:1-4.CBDC;1.利用三角函数线;2.设平移后:y=cos（x++），那么+=kπ.=kπ－＞0.∴k＞.∴k=2.∴=;3.可取,∴,4.利用图象可得解.15/15\n5.平移后的图象所对应的解析式为，由图象知，，所以，答案。6.（i）;（ii）画图知:在一个周期上面积为,[，]是1.5个周期,面积为.四、经典例题做一做【例1】解三角不等式组(1)(2)yx0解：(1)如图：∴解集为(2)由图得解集为：温馨提示:利用三角函数线或单调性求解,先求出一个周期上的解再写出全部。【例2】（2022重庆）设函数（其中），且的图象在轴右侧的第一个最高点的横坐标为。（Ⅰ）求的值；15/15\n（Ⅱ）如果在区间上的最小值为，求的值。提炼方法：1.先化简,再由图象求解析式——利用第一个最大值点求ω;2.借助三角函数线,或三角函数图象求取值范围.【例3】（2022全国卷Ⅰ）设函数图像的一条对称轴是直线。（Ⅰ）求φ；（Ⅱ）求函数y=f(x)的单调增区间；（Ⅲ）画出函数y=f(x)在区间[0,π]上的图像。解：（Ⅰ）的图像的对称轴，15/15\n（Ⅱ）由（Ⅰ）知由得∴函数y=f(x)的的单调区间为（Ⅲ）由x0y－1010故函数题型方法:1.求单调区间——把复合角放到单调区间内,解x的范围；2．画图：关键是确定“五点”对应的x值；不是整齐的“五点”间的一段时，要再描出端点。_y_1_M_N_P_o_x【例4】（2022浙江）如图，函数y=2sin(πx+φ),x∈R,(其中0≤φ≤)的图象与y轴交于点（0，1）.(Ⅰ)求φ的值；(Ⅱ)设P是图象上的最高点，M、N是图象与x轴的交点，求15/15\n解：（I）因为函数图像过点，所以即因为，所以.（II）由函数及其图像，得所以从而，故.题型方法:1.利用图象所给信息求解析式；2．三角函数与向量的综合题是一个新的命题方向。I_t0300-300【研讨.欣赏】已知电流I与时间t的关系式为．（１）右图是（ω＞0，）在一个周期内的图象，根据图中数据求的解析式；（２）如果t在任意一段秒的时间内，电流都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？解:（１）由图可知A＝300．设t1＝－，t2＝，15/15\n那么周期T＝2（t2－t1）＝2（＋）＝．∴ω＝＝150π．又当t＝时，I＝0，即sin（150π·＋）＝0，150π·＋=0∴＝．故所求的解析式为．（２）依题意，周期T≤，即≤，（ω>0）∴ω≥300π＞942，又ω∈N*，故最小正整数ω＝943．提炼方法：1.关键是将图形语言转化为符号语言．2.利用相邻两零点间的距离是半个周期求ω,利用第一个零点求φ.五．提炼总结以为师知识总结:1.三角函数线及运用;2.正、余弦、正切函数图象的画法、变换及对称性；思想方法：3．深刻理解图象变换与函数式变换（参数变化）的关系，掌握由图象求解析式的方法。4．数形结合，数形转化是本课的重要的思想方法。同步练习4.4三角函数的图象解析式【选择题】15/15\n1.函数y=－xcosx的局部图象是()2.已知函数y=tan（2x+）的图象过点（，0），那么可以是()A.－B.C.－D.3.(2022江苏)为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点（）（A）向左平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）（B）向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）（C）向左平移个单位长度，再把横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）（D）向右平移个单位长度，再把横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）4.函数的局部图象如以下图，那么函数表达式为（）15/15\n（A）（B）（C）（D）【填空题】5.(2022湖南)假设是偶函数,那么有序实数对可以是__________.(注:写出你认为正确的一组数字即可)6.（2022上海）函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，那么的取值范围是__________。✿练习简答：1-4.DACA；5.(1，);6..【解答题】7.(2022山东)已知函数，且的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1,2）.（I）求（II）计算.解：（I）的最大值为2，.又其图象相邻两对称轴间的距离为2，，15/15\n.过点，又.（II）解法一：，.又的周期为4，，解法二：又的周期为4，，15/15\n8.(2022福建)已知函数（I）求函数的最小正周期和单调增区间；（II）函数的图象可以由函数的图象经过怎样的变换得到？解：（I） 的最小正周期由题意得即 的单调增区间为（II）方法一：先把图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，再把所得图象上所有的点向上平移个单位长度，就得到的图象。方法二：把图象上所有的点按向量平移，就得到的图象。15/15\n029.(2022季上海)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R（其中A>0,ω>0）在一个周期内的图象如图所示。求直线y=与函数f(x)图象的所有交点的坐标〖解〗根据图象得A=2,T=-=4π,ω=,又由图象可得相位移为,.即,根据条件:,〖思维点拨〗按图可求得f(x)=Asin(ωx+φ)，再求交点即可。-310.如图为某三角函数图象的一段（1）用正弦函数写出其中一个解析式；（2）求与这个函数关于直线对称的函数解析式，并作出它一个周期内简图。思路分析：由，由最值定A，由特殊值定，用五点法作简图。15/15\n解：（1）由图它过（为其中一个值）（2）上任意一点，该点关于直线对称点为关于直线对称的函数解析式是列表：00-3030作图：【探索题】（2022全国Ⅰ）设函数图像的一条对称轴是直线。（Ⅰ）求；（Ⅱ）求函数的单调增区间；（Ⅲ）证明直线与函数的图像不相切。解：（Ⅰ）的图像的对称轴，15/15\n（Ⅱ）由（Ⅰ）知由题意得所以函数（Ⅲ）证明：∵所以曲线的切线斜率的取值范围为[-2,2]，而直线的斜率为，所以直线于函数的图像不相切15/15
