4.3三角函数的恒等变形一、明确复习目标1.掌握和、差、倍角的正弦、余弦、正切公式；2.能正确运用三角公式，进展简单三角函数式的化简、求值和证明。二．建构知识网络1.三角函数式的求值的类型一般可分为:(1)“给角求值”：给出非特殊角求式子的值——化非特殊角为特殊角，再用公式计算;（2）“给值求值”：给出一些角得三角函数式的值，求另外一些角得三角函数式的值——变换角,找出已知角与所求角的联系;（3）“给式求值”：给出的三角函数式的值，求其他式子的值——化简已知式或所求式，再求;（4）“给值求角”：——先求角的某一三角函数值,结合角的范围求出角,要特别注意角的范围对三角函数值的影响，有时需要讨论。2.三角函数式化简的目标与要求:化为单角或同角，函数名称少，次数尽量低，尽量不含分母和根号3.证明及其根本方法:（1）化繁为简法（2）左右归一法（3）变更命题法13/13\n（4）条件等式的证明关键在于分析已知条件与求证结论之间的区别与联系。4.无论是化简还是证明都要注意：（1）角度的差异与联系;（2）函数名称间的变换和联系，升降幂，化切为弦是常用手段;（3）角的范围对三角函数取值、符号的影响；三、双基题目练练手1.(2022湖北)假设ΔABC的内角A满足sin2A=，那么sinA+cosA=（）A.B.-C.D.-2.锐角三角形的内角、满足，那么有()A.B.C.D.3.已知=2022，那么的值为()A、2022B、2022C、2022D、20224.已知tanα，tanβ是方程两根，且α，β，那么α+β=()A、B、或C、或D、。13/13\n5.已知α+β=，且(tanαtanβ+c)+tanα=0（c为常数），那么tanβ=______6.计算=________。◆简答:1-4.AABA;2.由已知:,又是锐角三角形,选A;4.用韦达定理,,求tan(α+β);5.6．切化弦，原式=法2:=tan60°,原式===四、经典例题做一做【例1】（1）已知为第四象限角，化简：（2）已知，化简(3)tan20°+4sin20°解：（1）因为为第四象限角所以原式=13/13\n（2），所以原式=(3)tan20°+4sin20°==(另法:可以利用和差化积)◆思路方法：1.化简的一般原那么是:化单角或同角，函数名称少，没有根式，能求值的要求出值；2．根式形式的三角函数式化简常采用有理化如（1）或升幂公式如（2）【例2】（1）已知sin(x)=，0<x<，求的值。（2）已知.解：（1）解法1：∵，∴cos(+x)=sin(-x)13/13\n又cos2x=sin(-2x)=sin2(-x)=2sin(-x)cos(-x)∴=2cos(-x)=2解法2：∴=（2）解法一：由题设条件，应用两角差的正弦公式得即①由题设条件，应用二倍角余弦公式得故②由①式和②式得.因此，由两角和的正切公式解法二：由题设条件，应用二倍角余弦公式得13/13\n解得由由于，故在第二象限，于是.从而以下同解法一.◆提炼方法：（1）题：变换角：及，利用余角间的三角函数的关系便可求之。（2）题是利用sinα±cosα与sinα、cosα的关系，求出了sinα、cosα；提醒我们解题思路的灵活性。【例3】假设，，求α+2β。解：∵，∴∴，α+2β,又tan2β=,,∴α+2β=13/13\n◆思路方法：“给值求角分两步”：第一步，求出此角的某一三角函数值；第二步，根据此角的范围求出此角。在确定角的范围时，要尽可能地将角的范围缩小，否那么易增解。【例4】求证：证：左边=右边=所以左边=右边，即等式成立。◆思路点拨：切化弦,降次.或左右归一.【研讨.欣赏】在ΔABC中，设tanA+tanC=2tanB,求证cos(B+C-A)=.证明：由条件得而，又13/13\n而cos(B+C-A)=法2:由tanA+tanC=-2tan(A+c)得tanAtanC=3…五．提炼总结以为师1.三角函数式的求值的类型与方法:2.三角函数化简的方法与要求：3.证明三角等式的方法：化繁为简；左右归一；变形论证。4.三有恒等变形时,要灵活运用公式的变形,角的变形特点,及三角函数名称之间的联系.同步练习4.3三角函数的恒等变形【选择题】1.已知tanα和tan（－α）是方程ax2+bx+c=0的两个根，那么a、b、c的关系是()A.b=a+cB.2b=a+cC.c=b+aD.c=ab2.函数f(x)=3sin(x+100)+5sin(x+700)的最大值是A、5.5B、6.5C、7D、8【填空题】13/13\n3.（2022春北京）已知sin+cos=，那么sinθ的值为____________，cos2θ的值为____________.4.（2022春上海）假设cosα=，且α∈（0，），那么tan=____________.5.（05全国卷Ⅱ）设a为第四象限的角，假设，那么tan2a=_________.6.求值:sin10°sin30°sin50°sin70°=简答.提示：1.C;2.C1.∴tan==1.∴－=1－.∴－b=a－c.∴c=a+b.答案：C2.利用辅助角公式;3.由sin+cos=，得1+sinθ=，sinθ=，cos2θ=1－2sin2θ=1－2·=.答案：4.由cosα=，α∈（0，），得sinα==，tan=====.解析二：tan===.13/13\n5.;利用6.原式=【解答题】7.(1)设cos(α)=，sin()=,且，求cos(α+β)(2)已知，求的值。解：(1)从变换角的差异着手。cos()=cos[(α)-()]┉=∴cos(α+β)==┉=〈对角的范围要讨论〉(2)从三角函数构造特点出发,由已知得tanθ=2∴8.已知,,求2α-β.解:,由和可知,(这个范围必须足够准确),13/13\n9.(2022年安徽)（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求。解：（Ⅰ），，解得或。（II），＝＝10.（2022.湖北理）已知6sin2α+sinαcosα-2cos2α=0,,求的值.解法一：由已知得：由已知条件可知13/13\n解法二：由已知条件可知【探索题】求证：－2cos（α+β）=.分析：先变形，只需证sin（2α+β）－2cos（α+β）·sinα=sinβ，再利用角的关系：2α+β=（α+β）+α，（α+β）－α=β可证得结论.证明：sin（2α+β）－2cos（α+β）sinα=sin［（α+β）+α］－2cos（α+β）sinα13/13\n=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα－2cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα－cos（α+β）sinα=sin［（α+β）－α］=sinβ.两边同除以sinα得－2cos（α+β）=.13/13
