4.5三角函数的图象和性质一、明确复习目标1.掌握正、余弦函数，正余切函数的性质;2.能把一般的三角函数变形为y=Asin(ωx+φ)的形式,并能求解它的周期、最值、单调区间以及奇偶性、图象的对称性等问题。二．建构知识网络1．三角函数的性质：(结合图象理解,表中）)y=sinxy=cosxy=tanxy=cotx定义域RR{x∈R|x≠kπ}值域[-1,1][-1,1]RR周期2π2πππ奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数增区间无减区间无(kπ,kπ+π)对称轴x=kπ无对称中心(,0)2.函数y=Asin(ωx+φ),x∈R（其中A>0,ω>0）的性质：周期：;单调递增区间:由2kπ-≤ωx+φ≤2kπ+（k∈Z）可解得.单调递减区间.由2kπ+≤ωx+φ≤2kπ+](k∈Z）可解得.16/16\n类似可求,对称轴和对称中心.特别提醒：假设A或ω是负数，单调区间应在相反的单调区间内求。y=Acos(ωx+φ)也类似。3.三角函数求最值的方法:化Asin(ωx+φ),换元法,配方法,数形结合,不等式法,单调性法等.三、双基题目练练手1.(2022浙江)已知k＜－4，那么函数y＝cos2x＋k(cosx－1)的最小值是()(A)1(B)－1(C)2k＋1(D)－2k＋12．(2022全国)函数的单调增区间为()ABCD3．（2022江西）设函数为（）A．周期函数，最小正周期为B．周期函数，最小正周期为C．周期函数，数小正周期为D．非周期函数4．已知sinα+cosβ=1，那么y=sin2α+cosβ的取值范围是__________.5.为了使y=sinωx（ω＞0）在区间［0，1］上至少出现50次最大值，那么ω的最小值是6.16/16\n，的最小正周期是________．7.给出以下命题：①正切函数的图象的对称中心是唯一的；②y=|sinx|、y=|tanx|的周期分别为π、；③假设x1＞x2，那么sinx1＞sinx2；④假设f（x）是R上的奇函数，它的最小正周期为T，那么f（－）=0.其中正确命题的序号是____________.◆答案:1-3.ACA;4.y=sin2α－sinα+1=（sinα－）2+.∵cosβ=1－sinα.∴sinα∈［0，1］∴y∈［，1］.(此题易错解为y=sin2α+1－sinα，sinα∈［－1，1］，求y的取值范围.)5.49×T≤1，即×≤1，∴ω≥.答案思考：假设条件改为在［x0，x0+1］上至少出现50次最大值呢？6.化为一个角的三角数周期是π；7.答案：④四、经典例题做一做【例1】（2022春北京）已知函数f（x）=，求f（x）的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.解：由cos2x≠0得2x≠kπ+，解得x≠+（k∈Z）.所以f（x）的定义域为{x|x∈R且x≠+，k∈Z}.因为f（x）的定义域关于原点对称，且16/16\nf（－x）===f（x），所以f（x）是偶函数.又当x≠+（k∈Z）时，f（x）===3cos2x－1=，所以f（x）的值域为{y|－1≤y＜或＜y≤2}.◆提炼方法：对复杂的函数式,要先化简为Asin(ωx+φ)+m,或Acos(ωx+φ)+m的形式,再讨论性质.【例2】锐角x、y满足sinycscx=cos（x+y）且x+y≠，求tany的最大值.和取最大值时角x的集合.解：∵sinycscx=cos（x+y），∴sinycscx=cosxcosy－sinxsiny，siny（sinx+cscx）=cosxcosy.∴tany====≤=，当且仅当tanx=时取等号.∴tany的最大值为.对应角x的集合为16/16\n◆提炼方法：先由已知变换出tany与x的函数关系，再用不等式求最值;是三角、函数、不等式知识的综合应用。【例3】（2022辽宁）已知函数，.求:（I）函数的最大值及取得最大值的自变量的集合；（II）函数的单调增区间.（I）解法一：∴当，即时，取得最大值因此，取得最大值的自变量的集合是解法二：∴当，即时，取得最大值因此，取得最大值的自变量的集合是（II）解：由题意得，即16/16\n因此，的单调增区间是【例4】是否存在实数a，使得函数在闭区间上的最大值是1？假设存在，求出对应的a值？假设不存在，试说明理由。解：当时，，令那么，综上知，存在符合题意。◆思维点拨：化，闭区间上的二次函数的最值问题字母分类讨论思路。16/16\n【研讨.欣赏】（2022江苏）已知函数上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数.求的值。解：由是偶函数，得，即，所以,对任意x都成立，且，所以得，依题设，所以解得.由的图象关于点M对称，得，取得所以，…，….当k=0时，上是减函数；当k=1时，上是减函数；当时，上不是单调函数.所以，综合得.五．提炼总结以为师1.熟记三角函数的图象与各性质很重要.2.设参可以帮助理解,熟练了以后可以省却这个过程.16/16\n3.要善于运用图象解题，数形结合，数形转化。同步练习4.5三角函数的图象和性质【选择题】1.(2022福建9)已知函数在区间上的最小值是，那么的最小值等于()（A） （B） （C）2 （D）32.（2022全国卷Ⅱ）已知函数内是减函数，那么（）A．0<≤1B．－1≤<0C．≥1D．≤－13.（2022辽宁）函数,的值域是（）（A）（B）（C）（D）4.（2022全国卷Ⅱ）函数f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期是（）A．B．C．πD．2π【填空题】5.函数的最小值等于________。16/16\n6.半径为R的圆的内接矩形周长的最大值等于__________.◆练习简答：1-4：BBCC；5.令t=sinx+cosx，那么y=最小值6.4R.【解答题】7.设，假设方程有两解，求的取值范围。解：设，要使两函数图象有交点,由图可知。8.(2022浙江)已知函数f(x)＝－sin2x＋sinxcosx．(Ⅰ)求f()的值；(Ⅱ)设∈(0，)，f()＝－，求sin的值．解：(Ⅰ)(Ⅱ)解得16/16\n9.(2022陕西)已知函数f(x)=sin(2x－)+2sin2(x－)(x∈R)(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期;(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合解:(Ⅰ)f(x)=sin(2x－)+1－cos2(x－)=2[sin2(x－)－cos2(x－)]+1=2sin[2(x－)－]+1=2sin(2x－)+1∴T==π(Ⅱ)当f(x)取最大值时，sin(2x－)=1，有2x－=2kπ+即x=kπ+(k∈Z)∴所求x的集合为{x∈R|x=kπ+，(k∈Z)}10.已知函数（a∈(0，1)），求f(x)的最值，并讨论周期性，奇偶性，单调性。解:三角函数式降幂16/16\n∴f(x)=令那么y=au∴0<a<1y=au是减函数∴由得，此为f(x)的减区间由得，此为f(x)增区间∵u(-x)=u(x)∴f(x)=f(-x),f(x)为偶函数∵u(x+π)=f(x),∴f(x+π)=f(x)∴f(x)为周期函数，最小正周期为π当x=kπ（k∈Z）时，ymin=1当x=kπ+（k∈Z）时，ynax=【探索题】函数f（x）=1－2a－2acosx－2sin2x的最小值为g（a），a∈R，（1）求g（a）；（2）假设g（a）=，求a及此时f（x）的最大值.解：（1）f（x）=1－2a－2acosx－2（1－cos2x）=2cos2x－2acosx－1－2a=2（cosx－）2－－2a－1.假设＜－1，即a＜－2，那么当cosx=－1时，f（x）有最小值g（a）=2（－1－）2－－2a－1=1；假设－1≤≤1，即－2≤a≤2，那么当cosx=时，f（x）有最小值g（a）=－－2a－1；假设＞1，即a＞2，那么当cosx=1时，f（x）有最小值g（a）=2（1－）2－－2a－1=1－4a.16/16\n∴g（a）=（2）假设g（a）=，由所求g（a）的解析式知只能是－－2a－1=或1－4a=.由a=－1或a=－3（舍）.由a=（舍）.此时f（x）=2（cosx+）2+，得f（x）max=5.∴假设g（a）=，应a=－1，此时f（x）的最大值是5.备选题5．函数的值域是_____________［］(2022安徽)设，对于函数，以下结论正确的选项是(）A．有最大值而无最小值B．有最小值而无最大值C．有最大值且有最小值D．既无最大值又无最小值【例1】试求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值和最小值，假设x∈［0，］呢？16/16\n剖析：注意sinx+cosx与sinx·cosx之间的关系，进展换元可将原函数转化成一元二次函数来解.解：令t=sinx+cosx=sin（x+）∈［－，］，那么y=t2+t+1∈［，3+］，即最大值为3+，最小值为.当x∈［0，］时，那么t∈［1，］，此时y的最大值是3+，而最小值是3.评述：此题考察的是换元法，转化思想，在换元时要注意变量的取值范围.(2022广东)已知函数（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求的最大值和最小值；（Ⅲ）假设，求的值解：（Ⅰ）的最小正周期为;（Ⅱ）的最大值为和最小值；（Ⅲ）因为，即,即(2022春上海19)已知函数.（1）假设，求函数的值；（2）求函数的值域.19.[解]（1），16/16\n.（2），，，，函数的值域为.6.化简并求函数的值域和最小正周期和递增区间.解：所以函数f(x)的值域为，最小正周期由.(k∈Z)(2022上海)求函数的值域和最小正周期.[解]16/16\n∴函数的值域是,最小正周期是；（2022重庆卷）假设函数的最大值为，试确定常数a的值.解：因为的最大值为的最大值为1，那么所以8.已知（１）假设x∈R，求f(x)的单调递增区间；（２）假设时，f(x)的最大值为4，求的值〖解〗(1)由使,解得,16/16\n(2)由f(x),因此f(x)在上的最大值为+3，使+3=4,=1.16/16
