10.6互斥事件有一个发生的概率一、明确复习目标了解互斥事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率。二．建构知识网络1．互斥事件的概念:不可能同时发生的个事件叫做互斥事件。一般地：如果事件A1、A2、……An中的任何两个都是互斥的，那么就说事件A1、A2、……An彼此互斥。2.互斥事件有一个发生的概率：如果事件A、B互斥，那么事件A、B有一个发生的概率P(A+B)=P（A）+P(B)。事件A、B同时发生的概率P(A•B)=０）。一般地，如果事件A1、A2、……An彼此互斥那么A1、A2、……An中有一个发生的概率P（A1+A2+……+An））=P（A1）+P（A2）+……+P（An）.3．对立事件的概念:如果事件Ａ、B互斥，且必有一个发生，那么称A、B为对立事件，A的对立事件记为。显然P(A+)=P（A）+P()＝１也即。4.对于互斥事件理解：（1）互斥事件是一次试验中所发生的事件，这些事件不能同时出现。14/14\n从集合角度来看，两个事件互斥A、B所含结果组成的集合的交集是空集。（2）对立事件是互斥事件的特殊情况，是指在一次试验中的两个事件有且仅有一个发生，A∩=，A∪=U（全集）。（3）事件的和的意义:当A、B为互斥事件时，A、B中至少有一个发生的事件叫做A、B的和事件，记作A+B，易知：P（A+B）=P（A）+P（B）-P（A·B）其中P(A·B）表示A、B同时发生的概率。5．互斥事件概率的计算反映了分类讨论的思想；而那么表达了“正难那么反”的策略，在解题中要注意灵活运用。三、双基题目练练手1．(2022山东)10张奖券中只有3张有奖，5个人购置，每人一张，至少有1人中奖的概率是（）A．B．C．D．2．(2022湖北)以平行六面体ABCD—A′B′C′D′的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，那么这两个三角形不共面的概率p为（）A．B．C．D．14/14\n3.（2022江苏）将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1、2、3、4、3.6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是()A.B.C.D.4.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率为90%，那么甲、乙二人下成和棋的概率为A.60%B.30%C.10%D.50%5.假设10把钥匙中只有2把能翻开某锁，那么从中任取2把能将该锁翻开的概率为.6.一盒中装有20个大小相同的弹子球，其中红球10个，白球6个，黄球4个，一小孩随手拿出4个，求至少有3个红球的概率为________.简答:1-4.DADD;2.共有56个三角形,;3.不出现6点向上的概率:=,至少出现一次6点向上的概率:1－=;4.甲不输即为甲获胜或甲、乙二人下成和棋，90%=40%+p，∴p=50%.5.;6.＋=.四、经典例题做一做【例1】某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的.14/14\n（Ⅰ）求3个景区都有部门选择的概率；（Ⅱ）求恰有2个景区有部门选择的概率.解：某单位的4个部门选择3个景区可能出现的结果数为34.由于是任意选择，这些结果出现的可能性都相等.（I）3个景区都有部门选择可能出现的结果数为（从4个部门中任选2个作为1组，另外2个部门各作为1组，共3组，共有种分法，每组选择不同的景区，共有3！种选法），记“3个景区都有部门选择”为事件A1，那么事件A1的概率为P（A1）=（II）解法一：分别记“恰有2个景区有部门选择”和“4个部门都选择同一个景区”为事件A2和A3，那么事件A3的概率为P（A3）=，事件A2的概率为P（A2）=1－P（A1）－P（A3）=解法二：恰有2个景区有部门选择可能的结果为（先从3个景区任意选定2个，共有种选法，再让4个部门来选择这2个景区，分两种情况：第一种情况，从4个部门中任取1个作为1组，另外3个部门作为1组，共2组，每组选择2个不同的景区，共有种不同选法.第二种情况，从4个部门中任选2个部门到1个景区，另外2个部门在另1个景区，共有种不同选法）.所以14/14\nP（A2）=【例2】今有标号为1，2，3，4，5的五封信，另有同样标号的五个信封.现将五封信任意地装入五个信封，每个信封装入一封信，试求(1)至少有两封信配对的概率.(2)至少有一封信配对的概率(3)没有一封信配对.解：(1)设恰有两封信配对为事件A，恰有三封信配对为事件B，恰有四封信（也即五封信配对）为事件C，那么“至少有两封信配对”事件等于A+B+C，且A、B、C两两互斥.∵P（A）=，P（B）=，P（C）=，∴所求概率P（A）+P（B）+P（C）=.即至少有两封信配对的概率是.(2)恰有四封信不配对的装法有C51(3×3)种,∴至少有一封信配对的概率为.(3)1－.◆提炼方法：1.灵活运用事件的互斥与对立关系,进展分类计算,或间接计算.14/14\n2.恰有四封信不配对的算法.【例3】学校文艺队每个队员唱歌、跳舞至少会一门，已知会唱歌的有5人，会跳舞的有7人，现从中选3人，且至少要有一位既会唱歌又会跳舞的概率是，问该队有多少人？解：设该队既会唱歌又会跳舞的有x人，从而只会唱歌或只会跳舞的有(12－x)人，记“至少要有一位既会唱歌又会跳舞”的事件为A，那么事件A的对立事件是“只会唱歌或只会跳舞”解得x=3,12－x=9，故该队共有9人【例4】在袋中装20个小球，其中彩球有n个红色、5个蓝色、10个黄色，其余为白球.求：（1）如果从袋中取出3个都是相同颜色彩球（无白色）的概率是，且n≥2，那么，袋中的红球共有几个?（2）根据（1）的结论，计算从袋中任取3个小球至少有一个是红球的概率.解：（1）取3个球的种数为C=1140.14/14\n设“3个球全为红色”为事件A，“3个球全为蓝色”为事件B，“3个球全为黄色”为事件C.P（B）==，P（C）==.∵A、B、C为互斥事件，∴P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C），即=P（A）++P（A）=0取3个球全为红球的个数≤2.又∵n≥2，故n=2.（2）记“3个球中至少有一个是红球”为事件D.那么为“3个球中没有红球”.P（D）=1－P（）=1－=或P（D）==.【研讨.欣赏】有人玩掷硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正反面为等可能性事件，棋盘上标有第0站，第1站，第2站，…，第100站，一枚棋子开场在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，假设掷出正面，棋向前跳一站（从k到k+1），假设掷出反面，棋向前跳两站（从k到k+2），直到棋子跳到第99站（胜利大本营）或跳到第100站（失败集中营）时，该游戏完毕.设棋子跳到第n站概率为Pn.（1）求P0，P1，P2的值；14/14\n（2）求证：Pn－Pn－1=－（Pn－1－Pn－2），其中n∈N，2≤n≤99；（3）求P99及P100的值.（1）解：棋子开场在第0站为必然事件，∴P0=1.第一次掷硬币出现正面，棋子跳到第1站，其概率为，∴P1=.棋子跳到第2站应从如下两方面考虑：①前两次掷硬币都出现正面，其概率为；②第一次掷硬币出现反面，其概率为.∴P2=+=.（2）证明：棋子跳到第n（2≤n≤99）站的情况是以下两种，而且也只有两种：①棋子先到第n－2站，又掷出反面，其概率为Pn－2；②棋子先到第n－1站，又掷出正面，其概率为Pn－1.∴Pn=Pn－2+Pn－1.∴Pn－Pn－1=－（Pn－1－Pn－2）.（3）解：由（2）知，当1≤n≤99时，数列{Pn－Pn－1}是首项为P1－P0=－，公比为－的等比数列.∴P1－1=－，P2－P1=（－）2，P3－P2=（－）3，…，Pn－Pn－1=（－）n.以上各式相加，得Pn－1=（－）+（－）2+…+（－）n，∴Pn=1+（－）+（－）2+…+（－）n14/14\n=［1－（－）n+1］（n=0，1，2，…，99）.∴P99=［1－（）100］，P100=P98=·［1－（－）99］=［1+（）99］.◆提炼方法：求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先去求此事件的对立事件的概率.五．提炼总结以为师1.互斥事件、对立事件确实定和计算；4．求较复杂事件概率的方法：（1）将所求事件的概率化为彼此互斥的事件的概率分类计算，再求和；（2）先求对立事件的概率，再利用公式同步练习10.6互斥事件有一个发生的概率【选择题】1.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是()A.至少有1个白球，都是红球B.至少有1个白球，至多有1个红球C.恰有1个白球，恰有2个白球D.至多有1个白球，都是红球2.一批产品共10件，其中有两件次品，现随机地抽取5件，那么所取5件中至多有一件次品的概率为()14/14\nA.B.C.D.【填空题】3.一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球，从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，那么两次摸出的球恰好颜色不同的概率为________.4.有3人，每人都以相同的概率被分配到4个房间中的一间，那么至少有2人分配到同一房间的概率是________.5.有10张人民币，其中伍元的有2张，贰元的有3张，壹元的有5张，从中任取3张，那么3张中至少有2张的币值相同的概率为________.6.将8个队分成两个组,每组4个队进展比赛，其中这两个强队被分在一个组内的概率是________.◆练习简答：1.C;2.P=+=+=;3.分先摸白球和黑球两种情况:P=+=;4.P=1－=;5.分2张和3张相同:P==.6.法一：所有分组方法有:种,两强队在一组的分法有:种,故所求概率为P==.法二：P=1－=1－=.【解答题】14/14\n7.9个国家乒乓球队中有3个亚洲国家队，抽签分成甲、乙、丙三组（每组3队）进展预赛，试求：（1）三个组各有一个亚洲队的概率；（2）至少有两个亚洲队分在同一组的概率.解：9个队分成甲、乙、丙三组有CCC种等可能的结果.（1）三个亚洲国家队分给甲、乙、丙三组，每组一个队有A种分法，其余6个队平分给甲、乙、丙三组有CCC种分法.故三个组各有一个亚洲国家队的结果有A·CCC种，所求概率P（A）==.答：三个组各有一个亚洲国家队的概率是.（2）∵事件“至少有两个亚洲国家队分在同一组”是事件“三个组各有一个亚洲国家队”的对立事件，∴所求概率为1－=.答：至少有两个亚洲国家队分在同一组的概率是.8.某单位36人的血型类型是：A型12人，B型10人，AB型8人，O型6人.现从这36人中任选2人.求：（1）两人同为A型血的概率；（2）两人具有不相同血型的概率.解：（1）P==.14/14\n（2）考虑对立事件：两人同血型为事件A，那么P（A）==.所以不同血型的概率为P=1－P（A）=.9．袋中有红、黄、白色球各一个，每次任取一个，有放回抽三次，计算以下事件的概率：（1）三次颜色各不同；（2）三种颜色不全相同；（3）三次取出的球无红色或无黄色；解：根本领件有个，是等可能的，（1）记“三次颜色各不相同”为，；（2）记“三种颜色不全相同”为，；（3）记“三次取出的球无红色或无黄色”为，；10.某单位一辆交通车载有8个职工从单位出发送他们下班回家，途中共有甲、乙、丙3个停车点，如果某停车点无人下车，那么该车在这个点就不停车.假设每个职工在每个停车点下车的可能性都是相等的，求以下事件的概率：（1）该车在某停车点停车；（2）停车的次数不少于2次；（3）恰好停车2次.14/14\n解：将8个职工每一种下车的情况作为1个根本领件，那么共有38=6561（个）根本领件.（1）记“该车在某停车点停车”为事件A，事件A发生说明在这个停车点有人下车，即至少有一人下车，这个事件包含的根本领件较复杂，于是我们考虑它的对立事件，即“8个人都不在这个停车点下车，而在另外2个点中的任一个下车”.∵P（）==，∴P（A）=1－P（）=1－=.（2）记“停车的次数不少于2次”为事件B，那么“停车次数恰好1次”为事件，那么P（B）=1－P（）=1－=1－=.（3）记“恰好停车2次”为事件C，事件C发生就是8名职工在其中2个停车点下车，每个停车点至少有1人下车，所以该事件包含的根本领件数为C（C+C+C+…+C）=3×（28－2）=3×254，于是P（C）==.【探索题】袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时既终止，每个球在每一次被取出的时机是等可能的，用表示取球终止所需要的取球次数.（I）求袋中原有的白球的个数；（II）求取球两次终止的概率；（III）求甲取到白球的概率.14/14\n解:(I)设袋中原有个白球,由题意知可得或(舍去)，即袋中原有3个白球。(II)记“取球两次终止”的事件为，那么。(III)记“甲取到白球”的事件为，“第次取出的球是白球”的事件为。因为甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次取球和第5次取球，∴。因为事件两两互斥，∴=14/14
