专题能力训练22 坐标系与参数方程能力突破训练1.在直角坐标系xOy中,已知曲线C的参数方程是x=sinα,y=cosα+1(α为参数),若以O为极点,x轴的非负半轴为极轴,则曲线C的极坐标方程可写为 . 2.已知曲线C的参数方程为x=2cost,y=2sint(t为参数),C在点(1,1)处的切线为l,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l的极坐标方程为 . 3.已知两曲线参数方程分别为C1:x=5cosθ,y=sinθ(0≤θ<π)和C2:x=54t2,y=t(t∈R),它们的交点坐标为 . 4.若直线x=tcosα,y=tsinα(t为参数)与圆x=4+2cosφ,y=2sinφ(φ为参数)相切,则此直线的倾斜角α= . 5.以直角坐标系的原点为极点,x轴的非负半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R),它与曲线x=1+2cosα,y=2+2sinα(α为参数)相交于两点A和B,则|AB|= . 6.若直线l:x=t,y=3+kt(t为参数)与圆C:ρ=2cosθ相切,则k= . 7.已知圆C1的参数方程为x=cosφ,y=sinφ(φ为参数),以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆C2的极坐标方程为ρ=2cosθ+π3.(1)圆C1的参数方程化为普通方程为 ,圆C2的极坐标方程化为直角坐标方程为 ; (2)圆C1,C2的公共弦长为 . 5\n8.在极坐标系中,点2,π6到直线ρsinθ-π6=1的距离是 . 思维提升训练9.已知曲线C1的参数方程是x=t,y=3t3(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2,则C1与C2交点的直角坐标为 . 10.在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=2-22t,y=3+22t(t为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴)中,圆C的方程为ρ=23sinθ.(1)圆C的直角坐标方程为 ; (2)设圆C与直线l交于点A,B,若点P的坐标为(2,3),则|PA|+|PB|= . 11.已知曲线C的极坐标方程是ρ=1,以极点为原点,极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为x=1+t2,y=2+32t(t为参数).(1)直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程分别为 ; (2)设曲线C经过伸缩变换x'=3x,y'=y得到曲线C',设曲线C'上任意一点为M(x,y),则x+23y的最小值为 . 12.已知圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,直线l的参数方程为x=12+32t,y=12+12t(t为参数),点A的极坐标为22,π4,设直线l与圆C交于点P,Q.(1)圆C的直角坐标方程为 ; (2)|AP|·|AQ|= . ##专题能力训练22 坐标系与参数方程(选修4—4)能力突破训练1.ρ=2sinθ 解析依题意知,曲线C:x2+(y-1)2=1,5\n即x2+y2-2y=0,所以(ρcosθ)2+(ρsinθ)2-2ρsinθ=0.化简得ρ=2sinθ.2.ρsinθ+π4=2 解析∵曲线C的参数方程为x=2cost,y=2sint(t为参数),∴其普通方程为x2+y2=2.又∵点(1,1)在曲线C上,∴切线l的斜率k=-1.故l的方程为x+y-2=0,化为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=2,即ρsinθ+π4=2.3.1,255 解析消去参数θ得曲线方程C1为x25+y2=1(0≤y≤1),表示椭圆的一部分.消去参数t得曲线方程C2为y2=45x,表示抛物线,可得两曲线有一个交点,联立两方程,x25+y2=1,y2=45x,解得x=1,y=255,故交点坐标为1,255.4.π6或5π6 解析由题意得直线y=xtanα,圆:(x-4)2+y2=4.如图,sinα=24=12,∴α=π6或5π6.5.14 解析∵极坐标方程θ=π4(ρ∈R)对应的平面直角坐标方程为y=x,曲线x=1+2cosα,y=2+2sinα(α为参数)的平面直角坐标方程为(x-1)2+(y-2)2=4,圆心(1,2),r=2,∴圆心到直线y=x的距离d=|1-2|2=22,|AB|=2r2-d2=24-12=14.6.-337.(1)x2+y2=1 x-122+y+322=1 (2)3解析(1)由x=cosφ,y=sinφ,得x2+y2=1.又∵ρ=2cosθ+π3=cosθ-3sinθ,∴ρ2=ρcosθ-3ρsinθ.∴x2+y2-x+3y=0,5\n即x-122+y+322=1.(2)由圆心距d=0-122+0+322=1<2,得两圆相交.由x2+y2=1,x2+y2-x+3y=0,得A(1,0),B-12,-32.∴|AB|=1+122+0+322=3.8.1 解析ρsinθ-π6=ρsinθcosπ6-sinπ6cosθ=1,因为在极坐标系中ρcosθ=x,ρsinθ=y,所以直线可化为x-3y+2=0.同理点2,π6可化为(3,1),所以点到直线距离为d=|3-3+2|3+1=1.思维提升训练9.(3,1) 解析由曲线C1的参数方程x=t,y=3t3,得y=33x(x≥0),①曲线C2的极坐标方程为ρ=2,可得方程x2+y2=4,②由①②联立解得x=3,y=1,故C1与C2交点的直角坐标为(3,1).10.(1)x2+(y-3)2=3 (2)22 解析(1)由ρ=23sinθ,得x2+(y-3)2=3,故圆C的直角坐标方程为x2+(y-3)2=3.(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程,得2-22t2+22t2=3,即t2-22t+1=0.由于Δ>0,故可设t1,t2是上述方程的两实根.所以t1+t2=22.故由上式及t的几何意义,得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=22.5\n11.(1)y=3x-3+2,x2+y2=1 (2)-21解析(1)由题意得直线l的普通方程为y-2=3(x-1),圆C的直角坐标方程为x2+y2=1.(2)易得曲线C':x29+y2=1.令x=3cosθ,y=sinθ,则x+23y=3cosθ+23sinθ=21sin(θ+φ)其中tanφ=32,故x+23y的最小值为-21.12.(1)(x-1)2+y2=1 (2)12 解析(1)由ρ=2cosθ,得ρ2=2ρcosθ.∵ρ2=x2+y2,ρcosθ=x,∴x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1.∴圆C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1.(2)由点A的极坐标22,π4,得点A的直角坐标为12,12.将x=12+32t,y=12+12t代入(x-1)2+y2=1,消去x,y整理得t2-3-12t-12=0.设t1,t2为方程t2-3-12t-12=0的两个根,则t1t2=-12,所以|AP|·|AQ|=|t1t2|=12.5
