专题50平面内两条直线位置关系的常考题型考纲要求:①在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素．②理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．③能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．④掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．⑤能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标．⑥掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离．基础知识回顾:1．两条直线的位置关系(1)平行：对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2⇔k1＝k2，特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为l1∥l2．(2)垂直：如果两条直线l1，l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1k2＝－1，特别地，若直线l1：x＝a，直线l2：y＝b，则l1与l2的关系为l1⊥l2．2．两条直线的交点坐标一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行．3．距离公式(1)点到直线的距离：点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．(2)两条平行直线间的距离：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝．4．过两直线交点的直线系方程若已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，则方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(其中λ∈R，这条直线可以是l1，但不能是l2)表示过l1和l2交点的直线系方程．应用举例:类型一 两条直线平行、重合或相交【例1】【2022届四川省成都市第七中学高三上半期】若直线与直线平行，则（）12\nA.B.2C.D.0【答案】A【例2】【2022届广东省广州市高三4月综合测试（二）】已知三条直线，，不能构成三角形，则实数的取值集合为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】因为三条直线，，不能构成三角形，所以直线与，平行，或者直线过与的交点，直线与，分别平行时，，或，直线过与的交点时，，所以实数的取值集合为，故选D.点评：由直线的一般式直接判断两条直线是否平行时，可直接应用结论：若＝≠，则直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0平行，这是一个很实用的结论，但要注意分母不能为零．类型二 两条直线垂直【例1】【2022届云南省师范大学附属中学高三月考卷（二）】已知直线的倾斜角为，直线经过，两点，且直线与垂直，则实数的值为（）12\nA.-2B.-3C.-4D.-5【答案】D【解析】∵，∴，故选D．【例2】“m＝3”是“直线l1：2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0与直线l2：(m－3)x＋2y－5＝0垂直”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：由l1⊥l2，得2(m＋1)(m－3)＋2(m－3)＝0，解得m＝3或m＝－2.∴m＝3是l1⊥l2的充分不必要条件．故选A.点评：判定两直线垂直的方法：(1)判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k1·k2＝－1，则两直线垂直；若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则两直线也垂直．(2)直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论．设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.(3)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．类型三 对称问题【例1】与直线关于定点对称的直线方程是（）A.B.C.D.【答案】C【例2】已知三角形的一个顶点A(4，－1)，它的两条角平分线所在直线的方程分别为l1：x－y－1＝0和l2：x－1＝0，则BC边所在直线的方程为____________．12\n点评：(1)关于中心对称问题的处理方法：①若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得②求直线关于点的对称直线的方程，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用两直线平行，由点斜式得到所求直线方程，当然，斜率必须存在．(2)关于轴对称问题的处理方法：①点关于直线的对称．若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则线段P1P2的中点在l上，且连接P1P2的直线垂直于l，由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．②直线关于直线的对称．此类问题一般转化为点关于直线的对称问题来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．类型四 距离问题【例1】【2022届湖北省浠水县实验高级中学高三测试】若三条直线相交于同一点，则点到原点的距离的最小值为（）A.B.C.D.【答案】A12\n【例2】【2022届南京市、盐城市二模】在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则当实数变化时，点到直线的距离的最大值为______.【答案】【解析】由题意得，直线的斜率为，且经过点,直线的斜率为，且经过点，且直线所以点落在以为直径的圆上，其中圆心坐标，半径为，则圆心到直线的距离为，所以点到直线的最大距离为.点评：距离的求法：(1)点到直线的距离．可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．(2)两平行直线间的距离．①利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利用两平行线间的距离公式d＝.类型五 直线系及其应用例1．求证：动直线(m2＋2m＋3)x＋(1＋m－m2)y＋3m2＋1＝0(其中m∈R)恒过定点，并求出定点坐标．解析：证法一：令m＝0，则直线方程为3x＋y＋1＝0，①12\n例2．已知直线l：(a＋b)x＋(a－b)y＋2＝0，其中a，b满足3a－b＋2＝0.求证：直线l恒过一定点．解析：证明：由已知得b＝3a＋2，则直线l的方程可化为(4a＋2)x－(2a＋2)y＋2＝0，整理得a(4x－2y)＋2x－2y＋2＝0.令解得∵点(1，2)恒满足直线l的方程，∴直线l恒过定点(1，2)．点评：此题属于数学中恒成立问题，所以证法一是先赋给m两个特殊值得两条直线，那么这两条直线的交点就是那个定点，但m只是取两个特殊值，是否m∈R时都成立，则要进行代入检验；证法二是将动直线方程按m的降幂排列，由于∀m∈R恒成立，所以得关于x，y的方程组，解此方程组便得定点坐标．直线系也称直线束，是具有某一共同性质的直线的集合．常见直线系方程有：(1)过定点(x1，y1)的直线系：y－y1＝k(x－x1)和x＝x1.(2)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系：Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．(3)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系：Bx－Ay＋λ＝0.(4)过A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)．方法、规律归纳:1．当直线的方程中含有字母参数时，不仅要考虑斜率存在与不存在的情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．2．两条直线的位置关系一般用斜率和截距来判定，但当直线方程用一般式给出且系数中有参数时，往往需要繁琐地讨论．但也可以这样避免：设两直线为A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0，则两直线垂直的条件为·＝－1，由此得A1A2＋B1B2＝0，但后者适用性更强，因为当B1＝0或B2＝0时前者不适用但后者适用．12\n3．运用直线系方程，有时会使解题更为简单快捷，常见的直线系方程有：(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)；(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)；(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.4．运用公式d＝求两平行直线间的距离时，一定要将两条直线方程中x，y的系数化成相等的系数，求两平行直线间的距离也可化归为点到直线的距离，即在一条直线上任取一点(如直线与坐标轴的交点)，求该点到另一条直线的距离即为两平行直线间的距离．这一方法体现了化归思想的应用．5．对称主要分为中心对称和轴对称两种，中心对称仅用中点坐标公式即可，轴对称因对称点连线的中垂线就是对称轴，所以根据线段的中点坐标公式和两条直线垂直的条件即可解决．实战演练:1.【2022届四川省南充高级中学高三9月检测】已知直线.若，则实数的值是（）A.或B.或C.D.【答案】A【解析】，则即经检验都符合题意故选A.2.【2022届福建省泉州市模拟三】直线，直线，则“”是“”的A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.不充分不必要条件【答案】C3．【2022届浙江省嘉兴一中、杭州高级中学、宁波效实中学等高三下学期五校联考】已知直线，其中，则“”是“”的（）12\nA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】直线的充要条件是或。故选A。4．【2022届陕西省咸阳市高三二模】已知命题：“”，命题：“直线与直线互相垂直”，则命题是命题的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要【答案】A5.【2022届浙江省杭州市高三4月检测】设，分别是两条直线，的斜率，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为是两条不同的直线，所以若，则，反之，若，则.故选择C.6.【2022届湖南省长郡中学、衡阳八中等十三校重点中学第二次联考】“”是“与直线平行”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由与直线平行，得,检验时，两直线重合（舍去），所以时与直线平行的充要条件.7.【2022届江西省赣州市第四中学高三上第三次月考】点关于直线的对称点为，则点的坐标为____________．【答案】12\n【解析】设点，则中点坐标为，所以，解得，所以点.8.【2022届黑龙江省大庆实验中学考前训练一】与直线垂直的直线的倾斜角为____________【答案】【解析】直线斜率为，所求直线与直线垂直，故所求直线斜率为，故倾斜角为.故答案为.9．已知直线l过点P(3，4)且与点A(－2，2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为________．【答案】k＝2或k＝－10．若直线3x+4y-3=0与直线6x+my+14=0平行,则它们之间的距离为 .【答案】2【解析】试题分析：根据两直线平行对应x,y的系数成比例即可.试题解析：.11.【2022届甘肃省肃南县第一中学高三4月月考】若直线与垂直，则二项式的展开式中的系数为__________．【答案】【解析】两直线垂直，则：，二项式即：展开式的通项为：，由可得：，计算可得其系数为：.12\n12.【2022届江西省赣州市第四中学高三上第三次月考】定义点到直线的有向距离为.已知点到直线的有向距离分别是，给出以下命题：①若，则直线与直线平行；②若，则直线与直线平行；③若，则直线与直线垂直；④若，则直线与直线相交；其中正确命题的序号是_______________.【答案】④【解析】特别地：当时，命题①②③均不正确，当时，在直线的异侧，故命题④正确．13.【2022届陕西省西安市铁一中学高三上第五次模拟】设点，若直线与线段有一个公共点，则的最小值为__________．【答案】12\n表示原点到区域的点距离的平方，由图可知，当原点到直线的距离到区域内的点的距离的最小值，，所以的最小值为14.【2022届黑龙江省伊春市第二中学高三上第一次月考】已知直线与直线，为它们的交点，点为平面内一点.求（1）过点且与平行的直线方程；（2）过点的直线，且到它的距离为2的直线方程.【答案】（1）（2）或（2）∴，当斜率不存在，则方程为，不合题意当斜率存在，设方程,而,∴,∴,12\n，∴或，∴方程为或.12
