第三章第三节三角函数的图象和性质题组一三角函数的定义域问题1.函数y＝tan的定义域是( )A．{x|x≠，x∈R}B．{x|x≠－，x∈R}C．{x|x≠kπ＋，k∈Z，x∈R}D．{x|x≠kπ＋，k∈Z，x∈R}解析：∵x－≠kπ＋，∴x≠kπ＋π，k∈Z.答案：D2．求以下函数的定义域：(1)y＝＋；(2)y＝.解：(1)要使函数有意义，那么即(k∈Z)，所以2kπ≤x＜2kπ＋(k∈Z)．所以函数y＝＋的定义域是{x|2kπ≤x＜2kπ＋，k∈Z}．(2)由函数式有意义得得(k∈Z)．即(k∈Z)．求交集得2kπ＋＜x＜2kπ＋(k∈Z)．所以函数的定义域是{x|2kπ＋＜x＜2kπ＋，k∈Z}．题组二三角函数的单调性7/7\n3.假设函数y＝sinx＋f(x)在[－，]内单调递增，那么f(x)可以是( )A．1B．cosxC．sinxD．－cosx解析：y＝sinx－cosx＝sin(x－)，－≤x－≤，满足题意，所以f(x)可以是－cosx.答案：D4．求y＝3tan(－)的周期及单调区间．解：y＝3tan(－)＝－3tan(－)，∴T＝＝4π，∴y＝3tan(－)的周期为4π.由kπ－＜－＜kπ＋，得4kπ－＜x＜4kπ＋(k∈Z)，y＝3tan(－)在(4kπ－，4kπ＋)(k∈Z)内单调递增．∴y＝3tan(－)在(4kπ－，4kπ＋)(k∈Z)内单调递减．题组三三角函数的值域与最值5.已知函数y＝sinx的定义域为[a，b]，值域为[－1，]，那么b－a的值不可能是( )A.B.C．πD.解析：画出函数y＝sinx的草图分析知b－a的取值范围为[，]．答案：A6．已知函数f(x)＝2sinωx(ω＞0)在区间[－，7/7\n]上的最小值是－2，那么ω的最小值等于( )A.B.C．2D．3解析：由题意知解得ω≥.答案：B7．设函数f(x)＝2cos2x＋sin2x＋a(a为实常数)在区间[0，]上的最小值为－4，那么a的值等于( )A．4B．－6C．－4D．－3解析：y＝cos2x＋sin2x＋a＋1＝2sin(2x＋)＋a＋1，∵x∈[0，]，∴2x＋∈[，]，∴ymin＝2×(－)＋a＋1＝a＝－4.答案：C8．(2022·诸城模拟)设函数f(x)＝2cos2x＋2sinx·cosx＋m(m，x∈R)(1)化简函数f(x)的表达式，并求函数f(x)的最小正周期；(2)当x∈[0，]时，求实数m的值，使函数f(x)的值域恰为[，]．解：(1)f(x)＝2cosx＋2sinxcosx＋m＝1＋cos2x＋sin2x＋m＝2sin(2x＋)＋m＋1，∴函数f(x)的最小正周期T＝π.(2)∵0≤x≤，∴≤2x＋≤，∴－≤sin(2x＋)≤1，7/7\nm≤f(x)≤m＋3.又≤f(x)≤，故m＝.题组四图象和性质的综合应用9.(2022·江西高考)函数f(x)＝(1＋tanx)cosx的最小正周期为( )A．2πB.C．πD.解析：f(x)＝(1＋tanx)cosx＝cosx＋sinx＝2sin(x＋)，T＝＝2π.答案：A10．(2022·福建四地六校联考)假设函数f(x)同时满足以下三个性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x＝对称；③在区间[－，]上是增函数．那么y＝f(x)的解析式可以是( )A．y＝sin(2x－) B．y＝sin(＋)C．y＝cos(2x－) D．y＝cos(2x＋)解析：逐一验证，由函数f(x)的周期为π，故排除B；又∵cos(2×－)＝cos＝0，故y＝cos(2x－)的图象不关于直线x＝对称；令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，∴函数y＝sin(2x－)在[－，]上是增函数．答案：A11．已知f(x)＝sin(ωx＋)(ω＞0)，f()＝f()，且f(x)在区间(，)有最小值，无最大值，那么ω＝________.解析：由f()＝f()，知f(x)的图像关于x＝对称．且在x＝处有最小值，∴ω＋＝2kπ－，7/7\n有ω＝8k－(k∈Z)．又∵T＝＞－＝，∴ω＜6，故k＝1，ω＝.答案：12．(文)假设a＝(cosωx，sinωx)，b＝(sinωx,0)，其中ω＞0，记函数f(x)＝(a＋b)·b＋k.(1)假设函数f(x)的图象中相邻两条对称轴间的距离不小于，求ω的取值范围；(2)假设函数f(x)的最小正周期为π，且当x∈[－，]时，函数f(x)的最大值是，求函数f(x)的解析式，并说明如何由函数y＝sinx的图象变换得到函数y＝f(x)的图象．解：∵a＝(cosωx，sinωx)，b＝(sinωx,0)，∴a＋b＝(cosωx＋sinωx，sinωx)．故f(x)＝(a＋b)·b＋k＝sinωxcosωx＋sin2ωx＋k＝sin2ωx＋＋k＝sin2ωx－cos2ωx＋＋k＝sin(2ωx－)＋k＋.(1)由题意可知＝≥，∴ω≤1.又ω＞0，∴0＜ω≤1.(2)∵T＝＝π，∴ω＝1.∴f(x)＝sin(2x－)＋k＋.∵x∈[－，]，∴2x－∈[－，]．从而当2x－＝，即x＝时，f(x)max＝f()＝sin＋k＋＝k＋1＝，∴k＝－.故f(x)＝sin(2x－)．7/7\n由函数y＝sinx的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin(x－)的图象，再将得到的函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sin(2x－)的图象．(理)(2022·重庆高考)设函数f(x)＝sin(x－)－2cos2x＋1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)假设函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，求当x∈[0，]时，y＝g(x)的最大值．解：(1)f(x)＝sinxcos－cosxsin－cosx＝sinx－cosx＝sin(x－)，故f(x)的最小正周期为T＝＝8.(2)法一：在y＝g(x)的图象上任取一点(x，g(x))，它关于x＝1的对称点为(2－x，g(x))．由题设条件，点(2－x，g(x))在y＝f(x)的图象上，从而g(x)＝f(2－x)＝sin[(2－x)－]＝sin(－x－)＝cos(x＋)．当0≤x≤时，≤x＋≤，因此y＝g(x)在区间[0，]上的最大值为gmax＝cos＝.法二：因区间[0，]关于x＝1的对称区间为[，2]，且y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于x＝1对称，故y＝g(x)在[0，]7/7\n上的最大值即为y＝f(x)在[，2]上的最大值．由(1)知f(x)＝sin(x－)，当≤x≤2时，－≤x－≤.因此y＝g(x)在[0，]上的最大值为gmax＝sin＝.7/7
