第二章第二节函数的定义域和值域题组一函数的定义域问题1.(文)(2022·江西高考)函数y＝的定义域为( )A.[－4,1]B.[－4,0)C.(0,1]D.[－4,0)∪(0,1]解析：求y＝的定义域，即⇒[－4,0)∪(0,1].答案：D(理)(2022·江西高考)函数y＝的定义域为( )A.(－4，－1)B.(－4,1)C.(－1,1)D.(－1,1]解析：定义域⇒－1＜x＜1.答案：C2.假设函数y＝的定义域为R，那么实数m的取值范围是( )A.(0，)B.(－∞，0)∪(0，＋∞)C.(－∞，0]∪[，＋∞)D.[0，)解析：依题意，函数的定义域为R，即mx2＋4mx＋3≠0恒成立.①当m＝0时，得3≠0，故m＝0适合，可排除A、B.②当m≠0时，16m2－12m<0，得0<m<，综上可知0≤m<，排除C.答案：D3.假设函数f(x)的定义域是[0,1]，那么f(x＋a)·f(x－a)(0＜a＜)的定义域是 .解析：∵f(x)的定义域为[0,1]，∴要使f(x＋a)·f(x－a)有意义，须5/5\n且0<a<，a<1－a，∴a≤x≤1－a.答案：[a,1－a]题组二函数的值域问题4.假设函数f(x)＝(a2－2a－3)x2＋(a－3)x＋1的定义域和值域都为R，那么a的取值范围是( )A.a＝－1或3B.a＝－1C.a>3或a<－1D.－1<a<3解析：假设a2－2a－3≠0，那么函数为二次函数，不可能定义域和值域都为R，当a2－2a－3＝0时，得a＝－1或3，但当a＝3时，函数为常数函数，也不可能定义域和值域都为R，故a＝－1.答案：B5.假设函数y＝f(x)的值域是[，3]，那么函数F(x)＝f(x)＋的值域是A.[，3]B.[2，]C.[，]D.[3，]解析：令t＝f(x)，那么≤t≤3，由函数g(t)＝t＋在区间[，1]上是减函数，在[1,3]上是增函数，那么g()＝，g(1)＝2，g(3)＝，故值域为[2，].答案：B6.对a，b∈R，记max{a，b}＝.函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的最小值是( )A.0B.C.D.3解析：函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的图象如以下图，由图象可得，其最小值为.答案：C7.(2022·珠海模拟)假设函数y＝f(x)的值域是[1,3]，那么函数F(x)＝1－2f(x＋3)的值域是 .解析：∵1≤f(x)≤3，∴－6≤－2f(x＋3)≤－2，∴－5≤1－2f(x＋3)≤－1，即F(x)的值域为[－5,1].答案：[－5,1]5/5\n8.分别求以下函数的值域：(1)y＝；(2)y＝－x2＋2x(x∈[0,3])；(3)y＝x＋；(4)y＝.解：(1)别离变量法将原函数变形为y＝＝2＋.∵x≠3，∴≠0.∴y≠2，即函数值域为{y|y∈R且y≠2}.(2)配方法∵y＝－(x－1)2＋1，根据二次函数的性质，可得原函数的值域是[－3,1].(3)换元法先考虑函数定义域，由1－x2≥0，得－1≤x≤1，设x＝cosθ(θ∈[0，π])，那么y＝sinθ＋cosθ＝sin(θ＋)，易知当θ＝时，y取最大值为，当θ＝π时，y取最小值为－1，∴原函数的值域是[－1，].(4)别离常数法y＝∵1＋2x＞1，∴0＜＜2，∴－1＜－1＋＜1，∴所求值域为(－1,1).题组三函数定义域和值域的综合问题9.(2022·福建“四地六校”联考)设集合A＝[0，)，B＝[，1]，函数f(x)＝假设x0∈A，且f[f(x0)]∈A，那么x0的取值范围是( )A.(0，]B.[，]C.(，)D.[0，]5/5\n解析：∵0≤x0＜，∴f(x0)＝x0＋∈[，1)B，∴f[f(x0)]＝2(1－f(x0))＝2[1－(x0＋)]＝2(－x0).∵f[f(x0)]∈A，∴0≤2(－x0)＜.∴＜x0≤，又∵0≤x0＜，∴＜x0＜.答案：C10.设f(x)＝假设f(g(x))的值域是[0，＋∞)，那么函数y＝g(x)的值域是( )A.(－∞，－1]∪[1，＋∞) B.(－∞，－1]∪[0，＋∞)C.[0，＋∞)D.[1，＋∞)解析：如图为f(x)的图象，由图象知f(x)的值域为(－1，＋∞)，假设f(g(x))的值域是[0，＋∞)，只需g(x)∈(－∞，－1]∪[0，＋∞).答案：B11.规定记号“*”表示一种运算，即a*b＝＋a＋b，a，b是正实数，已知1]；(2)函数f(x)＝k*x的值域是 .解析：(1)1]k)＋1＋k＝3，解得k＝1.(2)f(x)＝k*x＝1]x)＋1＋x≥1.答案：(1)1 (2)[1，＋∞)12.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0，b∈R，c∈R).(1)假设函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；(2)假设a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0,1]恒成立，试求b的取值范围.解：(1)由已知c＝1，f(－1)＝a－b＋c＝0，且－＝－1，解得a＝1，b＝2.∴f(x)＝(x＋1)2.∴F(x)＝∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.5/5\n(2)由题知f(x)＝x2＋bx，原命题等价于－1≤x2＋bx≤1在x∈(0,1]恒成立，即b≤－x且b≥－－x在x∈(0,1]恒成立，根据单调性可得－x的最小值为0，－－x的最大值为－2，所以－2≤b≤0.5/5
