第一章第二节命题及其关系、充分条件与必要条件题组一命题的关系及真假的判断1.原命题：“设a、b、c∈R，假设ac2＞bc2，那么a＞b”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有( )A.0个B.1个C.2个D.3个解析：由题意可知，原命题正确，逆命题错误，所以否命题错误，而逆否命题正确.答案：B2.(2022·重庆高考)命题“假设一个数是负数，那么它的平方是正数”的逆命题是( )A.“假设一个数是负数，那么它的平方不是正数”B.“假设一个数的平方是正数，那么它是负数”C.“假设一个数不是负数，那么它的平方不是正数”D.“假设一个数的平方不是正数，那么它不是负数”解析：结论与条件互换位置选B.答案：B3.以下命题是真命题的为( )A.假设＝，那么x＝yB.假设x2＝1，那么x＝1C.假设x＝y，那么＝D.假设x＜y，那么x2＜y2解析：＝，等式两边都乘以xy，得x＝y.答案：A4.有以下四个命题，其中真命题有：①“假设x＋y＝0，那么x、y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“假设q≤1，那么x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题.其中真命题的序号为( )A.①②B.②③C.①③D.③④解析：命题①的逆命题：“假设x、y互为相反数，那么x＋y＝0”是真命题；命题②可考虑其逆命题“面积相等的三角形是全等三角形”是假命题，因此命题②的否命题是假命题；命题③6/6\n第一章第二节命题及其关系、充分条件与必要条件题组一命题的关系及真假的判断1.原命题：“设a、b、c∈R，假设ac2＞bc2，那么a＞b”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有( )A.0个B.1个C.2个D.3个解析：由题意可知，原命题正确，逆命题错误，所以否命题错误，而逆否命题正确.答案：B2.(2022·重庆高考)命题“假设一个数是负数，那么它的平方是正数”的逆命题是( )A.“假设一个数是负数，那么它的平方不是正数”B.“假设一个数的平方是正数，那么它是负数”C.“假设一个数不是负数，那么它的平方不是正数”D.“假设一个数的平方不是正数，那么它不是负数”解析：结论与条件互换位置选B.答案：B3.以下命题是真命题的为( )A.假设＝，那么x＝yB.假设x2＝1，那么x＝1C.假设x＝y，那么＝D.假设x＜y，那么x2＜y2解析：＝，等式两边都乘以xy，得x＝y.答案：A4.有以下四个命题，其中真命题有：①“假设x＋y＝0，那么x、y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“假设q≤1，那么x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题.其中真命题的序号为( )A.①②B.②③C.①③D.③④解析：命题①的逆命题：“假设x、y互为相反数，那么x＋y＝0”是真命题；命题②可考虑其逆命题“面积相等的三角形是全等三角形”是假命题，因此命题②的否命题是假命题；命题③6/6\n的逆命题：“假设x2＋2x＋q＝0有实根，那么q≤1”是真命题；命题④是假命题.答案：C5.(文)给定以下命题：①假设k＞0，那么方程x2＋2x－k＝0有实数根；②“假设a＞b，那么a＋c＞b＋c”的否命题；③“矩形的对角线相等”的逆命题；④“假设xy＝0，那么x、y中至少有一个为0”的否命题.其中真命题的序号是 .解析：①∵Δ＝4－4(－k)＝4＋4k＞0，∴①是真命题.②否命题：“假设a≤b，那么a＋c≤b＋c”是真命题.③逆命题：“对角线相等的四边形是矩形”是假命题.④否命题：“假设xy≠0，那么x、y都不为零”是真命题.答案：①②④(理)(2022·安徽高考)对于四面体ABCD，以下命题正确的选项是 (写出所有正确命题的编号).①相对棱AB与CD所在的直线是异面直线；②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点；③假设分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，那么这两条高的垂足重合；④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积；⑤分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点.解析：①正确，∵A、B、C、D四点不共面，∴AB与CD异面；②不正确，如图，假设A在底面BCD的射影O是△BCD的三条高线交点，那么延长BO交CD于M，那么BM⊥CD，可证CD⊥面ABM.那么CD⊥AB，即四面体相对棱异面垂直，而一般四面体ABCD相对棱不一定垂直，∴②不正确；6/6\n③不正确，如图，作DM⊥AB于M，连结CM，假设CM⊥AB，那么AB⊥面CMD.又CD⊂面CMD，∴AB⊥CD.而CD与AB不一定垂直，∴③不正确；④显然成立；⑤如图，取各棱中点M、N、P、Q、S、T，∴▱MNPQ的对角线MP与NQ交于一点O.同理▱MSPT的对角线MP与ST也交于点O，∴三条线MP、NQ、ST交于一点O.答案：①④⑤题组二充分条件必要条件的判定6.(2022·安徽高考)“a＋c＞b＋d”是“a＞b且c＞d”的( )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：“a＋c＞b＋d”“a＞b且c＞d”，∴充分性不成立；“a＞b且c＞d”⇒“a＋c＞b＋d”，∴必要性成立.答案：A7.“sinα＝”是“cos2α＝”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：充分性：如果sinα＝，那么cos2α＝1－2sin2α＝，成立；必要性：如果cos2α＝，那么sinα＝±，不成立，可知是充分而不必要条件.答案：A8.(2022·陕西高考)“m＞n＞0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件6/6\nC.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：把椭圆方程化成＋＝1.假设m＞n＞0，那么＞＞0.所以椭圆的焦点在y轴上.反之，假设椭圆的焦点在y轴上，那么＞＞0即有m＞n＞0.答案：C9.以下选项中，p是q的必要不充分条件的是( )A.p：ac2≥bc2， q：a>bB.p：a>1，b>1，q：f(x)＝ax－b(a>0，且a≠1)的图象不过第二象限C.p：x＝1，q：x2＝xD.p：a>1，q：f(x)＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上为增函数解析：a>b⇒ac2≥bc2，但ac2≥bc2a＞b.答案：A题组三充分条件与必要条件的应用10.(2022·海口模拟)已知集合A＝{x∈R|＜2x＜8}，B＝{x∈R|－1＜x＜m＋1}，假设x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A，那么实数m的取值范围是( )A.m≥2B.m≤2C.m＞2D.－2＜m＜2解析：A＝{x∈R|＜2x＜8}＝{x|－1＜x＜3}∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A∴AB∴m＋1＞3，即m＞2.答案：C11.e1、e2是不共线的两个向量，a＝e1＋ke2，b＝ke1＋e2，那么a∥b的充要条件是实数k＝ .解析：a＝λb，⇒k2＝1⇒k＝±1.答案：±112.设命题p：(4x－3)2≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，假设p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.6/6\n解：设A＝{x|(4x－3)2≤1}，B＝{x|x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0}，易知A＝{x|≤x≤1}，B＝{x|a≤x≤a＋1}.由p是q的必要不充分条件，从而p是q的充分不必要条件，即AB，或故所求实数a的取值范围是[0，].6/6
