限时练(五) (限时：40分钟)一、选择题(共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合M＝{x|x≤0}，N＝{－2，0，1}，则M∩N＝( )A.{x|x≤0}B.{－2，0}C.{x|－2≤x≤0}D.{0，1}解析 ∵M＝{x|x≤0}，N＝{－2，0，1}，∴M∩N＝{－2，0}.答案 B2.在复平面内复数z＝对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析 ∵z＝＝＝－＋i，对应的点在第二象限.答案 B3.设函数f(x)满足f(sinα＋cosα)＝sinαcosα，则f(0)＝( )A.－B.0C.D.1解析 依题意，令sinα＋cosα＝0，∴sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝0，∴1＋2sinαcosα＝0，故sinαcosα＝－，∴f(0)＝－.答案 A4.“∀x∈R，ex－2＞m”是“log2m2≥1”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 ∵ex＞0，∴ex－2＞－2，又∀x∈R，ex－2＞m，∴m≤－2；由log2m2≥1，得m≤－，或m≥；∴“m≤－2”⇒“m≤－，或m≥”.答案 A5.将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位后的图形关于原点对称，则函数f(x)在上的最小值为( )5\nA.B.C.－D.－解析 f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位得g(x)＝sin，它的图象关于原点对称，∴＋φ＝kπ(k∈Z)，即φ＝kπ－，又|φ|＜，∴φ＝－，∴f(x)＝sin，∵x∈，∴2x－∈，∴f(x)在上的最小值为f(0)＝－.答案 D6.一个几何体的三视图及部分数据如图所示，侧视图为等腰三角形，俯视图为正方形，则这个几何体的体积为( )A. B.C.1D.解析 该几何体的直观图如图所示为一四棱锥，其底面ABCD是正方形，PC⊥平面AC，AC＝1，PC＝2.AD2＋DC2＝AC2，又AD＝DC，∴AD2＝，∴正方形ABCD的面积S＝，∴V＝Sh＝××2＝.答案 A7.已知x，y分别是区间内随机取的实数，则使得y≤sinx的概率是( )A.B.C.D.解析 已知x，y都是区间内任取的一个实数，则x，y满足的区域面积是由x＝0，x＝，y＝0，y＝围成的正方形，其面积是×＝，而满足y≤sinx的区域面积为sinxdx＝－cosx＝1，∴P＝＝.答案 A5\n8.设{an}是公差不为零的等差数列，a2＝2，且a1，a3，a9成等比数列，则数列{an}的前n项和Sn＝( )A.＋B.＋C.＋D.＋解析 设{an}的公差为d，∴a1＝2－d，a3＝2＋d，a9＝2＋7d，又a1，a3，a9成等比数列，∴a＝a1a9，即(2＋d)2＝(2－d)(2＋7d)，d≠0，故d＝1，a1＝a2－d＝1，∴Sn＝na1＋d＝＋.答案 D9.执行如图程序在平面直角坐标系中打印一系列点，则打印出的点在圆x2＋y2＝10内的个数是( )A.2B.3C.4D.5解析 执行第1次运算打印点(1，1)，i＝5；执行第2次运算打印点，i＝4；执行第3次运算打印点，i＝3；执行第4次运算打印点，i＝2；执行第5次运算打印点，i＝1；执行第6次运算打印点，i＝0；结束循环，其中在圆x2＋y2＝10内的点有(1，1)，，，共3个.答案 B10.若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝1相离，则其离心率e的取值范围是( )A.e＞1B.e＞C.e＞D.e＞解析 双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线是y＝±x，圆(x－2)2＋y2＝1的圆心是(2，0)，半径是1，依题意，有＞1，即＞1，化简得＞，即e＞.答案 C5\n11.过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l交抛物线于A，B，交其准线于点C，若＝－2，|AF|＝3，则抛物线的方程为( )A.y2＝12xB.y2＝9xC.y2＝6xD.y2＝3x解析 分别过A，B点作准线的垂线，垂足分别为A1，B1，过A作AD⊥x轴.∴|BF|＝|BB1|，|AA1|＝|AF|.又∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BB1|，∴∠CBB1＝60°，∴∠AFD＝∠CFO＝60°，又|AF|＝3，∴|FD|＝，∴|AA1|＝p＋＝3，∴p＝，∴抛物线方程为y2＝3x.答案 D12.设数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝1，则Sn的取值范围是( )A.(0，1)B.(0，＋∞)C.D.解析 已知an＋Sn＝1，当n＝1时，得a1＝；当n≥2时，an－1＋Sn－1＝1，两式相减，得an－an－1＋an＝0，2an＝an－1，由题意知，an－1≠0，∴＝(n≥2)，∴数列{an}是首项为，公比为的等比数列，∴Sn＝＝1－，∴Sn∈.答案 C二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在各小题的横线上.)13.已知x，y满足条件则z＝x＋2y的最小值为________.解析 如图可知z＝x＋2y的最小值是2.答案 214.正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使二面角B－AD－C的大小为，则四面体ABCD的外接球的体积为________.解析 由题意得四面体ABCD是底面边长为的正三角形，侧棱AD垂直底面，且AD＝3，AB＝AC＝2，BD＝BC＝DC＝5\n，则外接球球心在过底面中心垂直于底面的垂线上，且到底面的距离等于AD的一半，∴R＝＝，∴V球＝πR3＝π＝.答案 15.在△PQR中，若·＝7，|－|＝6，则△PQR面积的最大值为________.解析 在△PQR中，设∠P，∠Q，∠R所对的边分别为p，q，r，由题意知qrcos∠P＝7，(－)2＝36，即r2－2qr·cos∠P＋q2＝36，可知r2＋q2＝50，又sin∠P＝＝，∴S△PQR＝rqsin∠P＝rq＝，而2qr≤r2＋q2＝50，当且仅当q＝r＝5时等号成立，所以，当且仅当q＝r＝5时，(S△PQR)max＝＝12.答案 1216.已知函数f(x)＝x3－3a2x－6a2＋3a(a＞0)有且仅有一个零点x0，若x0＞0，则a的取值范围是________.解析 已知f(x)＝x3－3a2x－6a2＋3a(a＞0)，则f′(x)＝3x2－3a2，①若f′(x)≥0恒成立，则a＝0，这与a＞0矛盾.②若f′(x)≤0恒成立，显然不可能.③若f′(x)＝0有两个根a，－a，而a＞0，则f(x)在区间(－∞，－a)上单调递增，在区间(－a，a)上单调递减，在区间(a，＋∞)上单调递增.故f(－a)＜0，即2a2－6a＋3＜0，解得＜a＜.答案 5
