限时练(一) (限时：40分钟)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.设集合M＝{x|x2＋3x＋2＜0}，集合N＝，则M∪N＝( )A.{x|x≥－2}B.{x|x＞－1}C.{x|x＜－1}D.{x|x≤－2}解析 ∵集合M＝{x|x2＋3x＋2＜0}＝{x|－2＜x＜－1}，集合N＝＝{x|2－x≤22}＝{x|－x≤2}＝{x|x≥－2}，∴M∪N＝{x|x≥－2}.答案 A2.若x∈(e－1，1)，a＝lnx，b＝2lnx，c＝ln3x，则( )A.a＜b＜cB.c＜a＜bC.b＜a＜cD.b＜c＜a解析 因为a＝lnx在(0，＋∞)上单调递增，故当x∈(e－1，1)时，a∈(－1，0)，于是b－a＝2lnx－lnx＝lnx＜0，从而b＜a.又a－c＝lnx－ln3x＝a(1＋a)(1－a)＜0，从而a＜c.综上所述，b＜a＜c.答案 C3.抛物线y＝4x2关于直线x－y＝0对称的抛物线的准线方程是( )A.y＝B.y＝－C.x＝D.x＝－解析 抛物线y＝4x2关于直线x－y＝0对称的抛物线方程为y2＝x，故其准线方程为x＝－.答案 D4.如图是一个几何体的正(主)视图和侧(左)视图，其俯视图是面积为8的矩形，则该几何体的表面积是( )A.20＋8B.24＋8C.8D.16解析 此几何体是一个三棱柱，且其高为＝4，由于其底面是一个等腰直角三角形，直角边长为2，所以其面积为×2×2＝2，又此三棱柱的高为4，故其侧面积为(2＋2＋2)×4＝16＋8，表面积为2×2＋16＋8＝20＋8.答案 A5\n5.若函数f(x)同时具有以下两个性质：①f(x)是偶函数；②对任意实数x，都有f＝f，则f(x)的解析式可以是( )A.f(x)＝cosxB.f(x)＝cosC.f(x)＝sinD.f(x)＝cos6x解析 由题意可得，函数f(x)是偶函数，且它的图象关于直线x＝对称.∵f(x)＝cosx是偶函数，当x＝时，函数f(x)＝，不是最值，故不满足图象关于直线x＝对称，故排除A.∵函数f(x)＝cos＝－sin2x是奇函数，不满足条件，故排除B.∵函数f(x)＝sin＝cos4x是偶函数，当x＝时，函数f(x)＝－1是最小值，故满足图象关于直线x＝对称，故C满足条件.∵函数f(x)＝cos6x是偶函数，当x＝时，函数f(x)＝0不是最值，故不满足图象关于直线x＝对称，故排除D.答案 C6.已知命题p：∃x0∈R，ex－mx＝0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1≥0，若p∨(綈q)为假命题，则实数m的取值范围是( )A.(－∞，0)∪(2，＋∞)B.[0，2]C.RD.∅解析 若p∨(綈q)为假命题，则p，綈q都为假命题，即p是假命题，q是真命题，由ex－mx＝0得m＝，设f(x)＝，则f′(x)＝＝，当x＞1时，f′(x)＞0，此时函数单调递增，当0＜x＜1时，f′(x)＜0，此时函数单调递减，当x＜0时，f′(x)＜0，此时函数单调递减，∴当x＝1时，f(x)＝取得极小值f(1)＝e，∴函数f(x)＝的值域为(－∞，0)∪[e，＋∞)，5\n∴若p是假命题，则0≤m＜e；若q是真命题，则由x2＋mx＋1≥0，则Δ＝m2－4≤0，解得－2≤m≤2，综上得解得0≤m≤2.答案 B7.若实数x、y满足不等式组则z＝|x|＋2y的最大值是( )A.10B.11C.13D.14解析 当x≥0时，2y＝－x＋z表示的是斜率为－截距为的平行直线系，当过点(1，5)时，截距最大，此时z最大，zmax＝1＋2×5＝11，当x＜0时，2y＝x＋z表示的是斜率为截距为的平行直线系，当过点(－4，5)时，zmax＝4＋2×5＝14.答案 D8.已知数列{an}满足a1＝1，且an＝an－1＋(n≥2，且n∈N)，则数列{an}的通项公式为( )A.an＝B.an＝C.an＝n＋2D.an＝(n＋2)·3n解析 ∵an＝an－1＋(n≥2)，∴3n·an＝3n－1·an－1＋1，∴3n·an－3n－1·an－1＝1，∵a1＝1，∴31·a1＝3，∴{3n·an}是以3为首项，1为公差的等差数列，∴3n·an＝3＋(n－1)×1＝n＋2，∴an＝.答案 B9.已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝( )A.B.C.D.解析 ∵|PF1|＝2|PF2|，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，∵|F1F2|＝2，∴cos∠F1PF2＝＝.答案 B5\n10.(x2＋2)展开式中x2项的系数为250，则实数m的值为( )A.±5B.5C.±D.解析 若第一个因式取2，第二个因式展开式的通项为Cx－2(5－r)(－mx)r＝C(－m)rx3r－10，由3r－10＝2得r＝4，系数为C(－m)4＝5m4，因第二个因式展开式中没有常数项，所以展开式x2系数为2·5m4＝250，m＝±.答案 C11.与向量a＝，b＝的夹角相等，且模为1的向量是( )A.B.或C.D.或解析 设与向量a＝，b＝的夹角相等，且模为1的向量为(x，y)，则解得或答案 B12.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx＋2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是( )A.－B.－C.－D.－解析 ∵圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，整理得(x－4)2＋y2＝1，即圆C是以(4，0)为圆心，1为半径的圆.又直线y＝kx＋2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：(x－4)2＋y2＝4与直线y＝kx＋2有公共点即可.设圆心C′(4，0)到直线y＝kx＋2的距离为d，则d＝≤2，即3k2＋4k≤0，∴－≤k≤0.∴k的最小值是－.答案 A二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在各小题的横线上.)13.已知底面边长为，各侧面均为直角三角形的正三棱锥P－ABC的四个点都在同一球面上，则此球的表面积为________.5\n解析 由题意知此正三棱锥的外接球即是相应的正方体的外接球，此正方体的面对角线为，边长为1.正方体的体对角线是＝.故外接球的直径是，半径是.故其表面积是4×π×＝3π.答案 3π14.某宾馆安排A、B、C、D、E五人入住3个不同房间，每个房间至少住1人，且A、B不能住同一房间，则共有________种不同的安排方法(用数字作答).解析 先安排A、B住进2个不同的房间，有A＝6种方法，再从C、D、E中选1人安排到剩余的空房间内，有C种方法，再安排剩余的2人，有32种方法，故共有6×3×9＝162种不同的安排方法.答案 16215.若在区间[0，1]上存在实数x使2x(3x＋a)＜1成立，则a的取值范围是________.解析 2x(3x＋a)＜1可化为a＜2－x－3x，则在区间[0，1]上存在实数x使2x(3x＋a)＜1成立，等价于a＜(2－x－3x)max，而2－x－3x在[0，1]上单调递减，∴2－x－3x的最大值为20－0＝1，∴a＜1，故a的取值范围是(－∞，1).答案 (－∞，1)16.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1、F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.若|PF1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2，则e1·e2的取值范围为________.解析 设椭圆与双曲线的半焦距为c，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2.由题意知r1＝10，r2＝2c，且r1＞r2，2r2＞r1，∴2c＜10，2c＋2c＞10⇒＜c＜5⇒1＜＜4，又|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF1|－|PF2|＝2a′，即10＋2c＝2a，10－2c＝2a′，∴a＝c＋5，a′＝5－c，∴e1＝＝，e2＝＝∴e1·e2＝＝＞.答案 5
