限时练(三)(限时：40分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A＝{0，b}，B＝{x∈Z|x2－3x<0}，若A∩B≠∅，则b等于( )A.1B.2C.3D.1或2解析 因为集合B＝{x|x2－3x<0，x∈Z}＝{1，2}，且A∩B≠∅，故b＝1或b＝2，故选D.答案 D2.复数＝( )A.iB.－iC.2(＋i)D.1＋i解析 ＝＝＝i，故选A.答案 A3.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“a>b”是“cos2A<cos2B”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 在△ABC中，a>b⇔sinA>sinB⇔1－2sin2A<1－2sin2B⇔cos2A<cos2B，故“a>b”是“cos2A<cos2B”的充要条件，故选C.答案 C4.向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，(a＋b)⊥(2a－b)，则向量a与b的夹角为( )A.45°B.60°C.90°D.120°解析 因为(a＋b)·(2a－b)＝0，所以2a2＋a·b－b2＝0，即a·b＝－2a2＋b2＝0，故a⊥b，向量a与b的夹角为90°，故选C.答案 C5.实数m为[0，6]上的随机数，则关于x的方程x2－mx＋4＝0有实根的概率为( )A.B.C.D.解析 若方程x2－mx＋4＝0有实数根，则Δ＝m2－16≥0，解得m≤－4或m5\n≥4，故所求概率P＝＝，故选B.答案 B6.已知三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( )A.B.C.D.解析 由三视图得该三棱锥的底面积S＝×22＝，该三棱锥的高h＝2，故三棱锥的体积V＝Sh＝，故选B.答案 B7.椭圆＋y2＝1的两个焦点分别是F1，F2，点P是椭圆上任意一点，则·的取值范围是( )A.[1，4]B.[1，3]C.[－2，1]D.[－1，1]解析 因为a2＝4，b2＝1，故c2＝a2－b2＝3，故F1(－，0)，F2(，0).设P(x，y)，则＝(－－x，－y)，＝(－x，－y)，且＋y2＝1，故·＝x2－3＋y2＝－2，因为x∈[－2，2]，故－2∈[－2，1]，即·的取值范围是[－2，1]，故选C.答案 C8.半径为1的球面上有四个点A，B，C，D，球心为点O，AB过点O，CA＝CB，DA＝DB，DC＝1，则三棱锥A－BCD的体积为( )A.B.C. D.解析 连接OC，OD，由球体的对称性可知VA－BCD＝2VA－OCD.因为OC＝OD＝CD＝1，所以△OCD为等边三角形，故S△OCD＝，故VA－OCD＝××1＝，故VA－BCD＝2×＝，故选A.5\n答案 A9.已知数列{an}满足···…·＝(n∈N*)，则a10＝( )A.e26B.e29C.e32D.e35解析 令n＝9，得··…·＝.令n＝10，得··…··＝，故·＝，解得a10＝e32，故选C.答案 C10.执行如图所示的程序框图，要使输出的S的值小于1，则输入的t值不可能是下面的( )A.8B.9C.10D.11解析 该程序框图的作用是计算S＝sin＋sin＋…＋sin，k∈N*的值.若t＝8，则S＝sin＋sin＋…＋sin＝0＋sin＋sin＋sin＝>1，故选A.答案 A11.若函数f(x)＝2x3－3mx2＋6x在(2，＋∞)上为增函数，则实数m的取值范围是( )A.(－∞，2)B.(－∞，2]C.D.解析 因为f′(x)＝6x2－6mx＋6，令f′(x)≥0，即6x2－6mx＋6≥0，则m≤x＋，又因为y＝x＋在(2，＋∞)上为增函数，故当x∈(2，＋∞)时，x＋>，故m≤，故选D.5\n答案 D12.函数f(x)＝lg(|x|＋1)－sin2x的零点个数为( )A.9B.10C.11D.12解析 令f(x)＝lg(|x|＋1)－sin2x＝0，得lg(|x|＋1)＝sin2x，在同一直角坐标系中作出y＝lg(|x|＋1)，y＝sin2x的图象，如图所示，观察可知两个函数的图象共有12个交点，即函数f(x)＝lg(|x|＋1)－sin2x有12个零点，故选D.答案 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)13.若等差数列{an}中，满足a4＋a6＋a2010＋a2012＝8，则S2015＝________.解析 因为a4＋a2012＝a6＋a2010＝a1＋a2015，故a1＋a2015＝4，故S2015＝＝4030.答案 403014.若变量x，y满足约束条件则z＝x＋2y的最小值为________.解析 令x＋2y＝m(2x＋y)＋n(x－y)，故解得故x＋2y＝(2x＋y)－(x－y).因为6≤x－y≤9，故－9≤－(x－y)≤－6，故－6≤(2x＋y)－(x－y)≤3，即－6≤x＋2y≤3，故z＝x＋2y的最小值为－6.答案 －615.已知双曲线C：－＝1，点P与双曲线C的焦点不重合.若点P关于双曲线C的上、下焦点的对称点分别为点A，B，点Q在双曲线C的上支上，点P关于点Q的对称点为点P1，则|P1A|－|P1B|＝________.解析 由题意得QF1为△PBP1的中位线，QF2为△PAP1的中位线，所以|P1A|－|P1B|＝2(|QF2|－|QF1|)＝2×(－2a)＝－16.另解：设P(0，0).因为a2＝16，b2＝4，故c2＝a2＋b2＝20，故上焦点F1(0，2)，下焦点F2(0，－2)，故A(0，4)，B(0，－4).因为点P，P1关于点Q对称，故|P1A|－|P1B|＝2(|QF2|－|QF1|)＝2×(－2a)＝－16.5\n答案 －1616.若函数f(x)满足：(ⅰ)函数f(x)的定义域是R；(ⅱ)对任意x1，x2∈R有f(x1＋x2)＋f(x1－x2)＝2f(x1)f(x2)；(ⅲ)f(1)＝，则下列命题中正确的是________(写出所有正确命题的序号).①函数f(x)是奇函数；②函数f(x)是偶函数；③对任意n1，n2∈N，若n1<n2，则f(n1)<f(n2)；④对任意x∈R，有f(x)≥－1.解析 令x1＝1，x2＝0，则f(1)＋f(1)＝2f(1)f(0)，故f(0)＝1，故函数f(x)不是奇函数，①错误；令x1＝0，x2＝x，故f(x)＋f(－x)＝2f(0)f(x)＝2f(x)，故f(－x)＝f(x)，因为函数f(x)的定义域为R，故函数f(x)为偶函数，②正确；令x1＝n，x2＝1，n∈N*，则f(n＋1)－f(n－1)＝2f(n)f(1)＝3f(n)，即f(n＋1)＝3f(n)＋f(n－1)，又因为f(0)＝1>0，f(1)＝>0，所以对任意n∈N，f(n)>0，所以对任意n1，n2∈N，若n1<n2，则f(n1)＜f(n2)，③正确；令x1＝x2＝，则f(x)＋f(0)＝2ff≥0，故f(x)≥－f(0)≥－1，④正确.综上所述，正确的命题为②③④.答案 ②③④5
