【大高考】（五年高考）2022届高考数学复习第十三章坐标系与参数方程文（全国通用）考点一 极坐标与极坐标方程1．(2022·广东，14)(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ(cosθ＋sinθ)＝－2，曲线C2的参数方程为(t为参数)，则C1与C2交点的直角坐标为________．解析 ∵曲线C1的极坐标方程为ρ(cosθ＋sinθ)＝－2，∴曲线C1的直角坐标方程为x＋y＝－2.曲线C2的参数方程为(t为参数)，则其直角坐标方程为y2＝8x，联立解得x＝2，y＝－4，即C1，C2的交点坐标为(2，－4)．答案 (2，－4)2．(2022·广东，14)在极坐标系中，曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ＝sinθ与ρcosθ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1与C2交点的直角坐标为________．解析 由2ρcos2θ＝sinθ⇒2ρ2cos2θ＝ρsinθ⇒2x2＝y，又由ρcosθ＝1⇒x＝1，由⇒.故曲线C1与C2交点的直角坐标为(1，2)．答案 (1，2)3．(2022·陕西，15C)在极坐标系中，点到直线ρsin＝1的距离是________．解析 点化成直角坐标为(，1)，直线ρsin＝1⇒ρ＝1化成直角坐标方程为x－y＋1＝0，故点到直线的距离为d＝＝1.答案 14．(2022·陕西，15C)直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则|AB7\n|的最小值为________．解析 由题意知曲线C1为(x－3)2＋y2＝1，C2为x2＋y2＝1，两圆相离，两圆圆心距|C1C2|＝3，半径均为1，则|AB|的最小值为|C1C2|－r1－r2＝1.答案 15．(2022·新课标全国Ⅰ，23)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C1，C2的极坐标方程．(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．解 (1)因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以C1的极坐标方程为ρcosθ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0.(2)将θ＝代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝.由于C2的半径为1，所以△C2MN为等腰直角三角形，所以△C2MN的面积为.6．(2022·江苏。21(C))已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρsin－4＝0，求圆C的半径．解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsinθ－2ρcosθ－4＝0.则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，所以圆C的半径为.7．(2022·新课标全国Ⅰ，23)已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π)．7\n解 (1)将消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.将代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.由解得或所以C1与C2交点的极坐标分别为，.考点二 参数方程1．(2022·湖南，12)在平面直角坐标系中，曲线C：(t为参数)的普通方程为________．解析 直接化简，两式相减消去参数t得，x－y＝1，整理得普通方程为x－y－1＝0.答案 x－y－1＝02．(2022·陕西，15C)圆锥曲线(t为参数)的焦点坐标是________．解析 由消去t得，y2＝4x，故曲线表示为焦点(1，0)的抛物线．答案 (1，0)3．(2022·广东，14)已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为________．解析 由曲线C的极坐标方程ρ＝2cosθ知以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系知曲线C是以(1，0)为圆心，半径为1的圆，其方程为(x－1)2＋y2＝1，故参数方程为(φ为参数)．答案 (φ为参数)4．(2022·广东，14)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为和(t为参数)，则曲线C1与C27\n的交点坐标为________．解析 由C1得x2＋y2＝5①，且由C2得x＝1＋y②，∴由①②联立得答案 (2，1)5．(2022·新课标全国Ⅱ，23)在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，其中0≤α＜π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝2cosθ.(1)求C2与C3交点的直角坐标；(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．解 (1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.联立解得或所以C2与C3交点的直角坐标为(0，0)和.(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α＜π.因此A的极坐标为(2sinα，α)，B的极坐标为(2cosα，α)．所以|AB|＝|2sinα－2cosα|＝4.当α＝时，|AB|取得最大值，最大值为4.6．(2022·陕西，23)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ＝2sinθ.(1)写出⊙C的直角坐标方程；(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．解 (1)由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ，从而有x2＋y2＝2y，所以x2＋(y－)2＝3.7\n(2)设P，又C(0，)，则|PC|＝＝，故当t＝0时，|PC|取得最小值，此时，P点的直角坐标为(3，0)．7．(2022·辽宁，23)将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出C的参数方程；(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．解 (1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为C上点(x，y)，依题意，得，由x＋y＝1得x2＋＝1，即曲线C的方程为x2＋＝1.故C的参数方程为(t为参数)．(2)由解得：，或.不妨设P1(1，0)，P2(0，2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线斜率为k＝，于是所求直线方程为y－1＝，化为极坐标方程，并整理得2ρcosθ－4ρsinθ＝－3，即ρ＝.8．(2022·新课标全国Ⅰ，23)已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．解 (1)曲线C的参数方程为(θ为参数)．直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.7\n(2)曲线C上任意一点P(2cosθ，3sinθ)到l的距离为d＝|4cosθ＋3sinθ－6|.则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tanα＝.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.9．(2022·新课标全国Ⅱ，23)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈.(1)求C的参数方程；(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．解 (1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．可得C的参数方程为(t为参数，0≤t≤π)．(2)设D(1＋cost，sint)．由(1)知C是以G(1，0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，tant＝，t＝.故D的直角坐标为，即.10．(2022·辽宁，23)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ＝4sinθ，ρcos＝2.(1)求C1与C2交点的极坐标；(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点．已知直线PQ的参数方程为(t∈R为参数)，求a，b的值．解 (1)圆C1的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，直线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.解得所以C1与C2交点的极坐标为，.注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0，2)，(1，3)．7\n故直线PQ的直角坐标方程为x－y＋2＝0.由参数方程可得y＝x－＋1.所以解得a＝－1，b＝2.7
