第1讲 概率与统计的基本问题一、选择题1.(2022·重庆卷)重庆市2022年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是( )A.19B.20C.21.5D.23解析 从茎叶图知所有数据为8，9，12，15，18，20，20，23，23，28，31，32，中间两个数为20，20，故中位数为20，选B.答案 B2.(2022·武汉期末)二项式(2x2－)5的展开式中x的系数为( )A.－20B.20C.－40D.40解析 Tr＋1＝C(2x2)5－r·＝C·25－r·(－1)r·x10－3r令10－3r＝1得r＝3，所以T4＝C·22·(－1)3·x＝－40x，故x的系数为－40.答案 C3.对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则( )A.p1＝p2＜p3B.p2＝p3＜p1C.p1＝p3＜p2D.p1＝p2＝p3解析 由于三种抽样过程中每个个体被抽到的概率都是相等的，因此p1＝p2＝p3.答案 D4.(2022·豫西名校期末)河南省2022级高中学业水平考试在2022年1月16日6\n至18日共考试三天，需考语文、数学、英语、物理、化学、生物、政治、历史、地理九门学科，若语文、数学、英语必须安排在下午，每天上午安排其余的六门学科，且每天上午考两门，下午考一门，问有多少种安排考试顺序的方法( )A.540B.720C.3240D.4320解析 A·A·A·A＝4320.答案 D5.(2022·湖南卷)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9544.A.2386B.2718C.3413D.4772解析 由X～N(0，1)知，P(－1＜X≤1)＝0.6826，∴P(0≤X≤1)＝×0.6826＝0.3413，故S≈0.3413.∴落在阴影部分中点的个数x估计值为＝(古典概型)，∴x＝10000×0.3413＝3413，故选C.答案 C二、填空题6.(2022·广州模拟)从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：cm)数据绘制成频率分布直方图如图所示.由图中数据可知a＝________.若要从身高在[120，130)，[130，140)，[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为________.解析 由所有小矩形的面积之和为1，得(0.005＋0.010＋0.020＋a＋0.035)×10＝1，得a＝0.030.设身高在[120，130)，[130，140)，[140，150]三组中分别抽取的人数为n1，n2，n3，则n1：n2：n3＝0.3∶0.2∶0.1＝3∶2∶1，又n1＋n2＋n3＝18，所以n3＝18×6\n＝3.答案 0.030 37.(2022·天津卷)在的展开式中，x2的系数为________.解析 的展开式的通项Tr＋1＝Cx6－r＝Cx6－2r；当6－2r＝2时，r＝2，所以x2的系数为C＝.答案 8.设随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，则函数f(x)＝x2＋2x＋ξ不存在零点的概率是________.解析 函数f(x)＝x2＋2x＋ξ不存在零点，则Δ＝4－4ξ＜0，即ξ＞1.因为ξ～N(1，σ2)，所以该正态曲线的对称轴是x＝1，根据正态曲线的性质得P(ξ＞1)＝.答案 三、解答题9.某学校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六组[90，100)，[100，110)，…[140，150)后得到如图(1)所示的频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：(1)求分数在[120，130)内的频率，补全这个频率分布直方图，并根据直方图求众数，中位数；(2)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分.解 (1)易知分数在[120，130)内的频率为1－(0.01＋0.015＋0.015＋0.025＋0.005)×10＝1－0.7＝0.3，因为小矩形的高为＝0.03，所以补全频率分布直方图，如图(2)所示，其众数为125.6\n设中位数为x，则(x－120)×0.03×10＝0.1，所以x＝.(2)平均分为＝95×0.1＋105×0.15＋115×0.15＋125×0.3＋135×0.25＋145×0.05＝121.10.(2022·广东卷)某工厂36名工人的年龄数据如下表.工人编号 年龄工人编号 年龄工人编号 年龄工人编号 年龄 1 40 10 36 19 27 28 34 2 44 11 31 20 43 29 39 3 40 12 38 21 41 30 43 4 41 13 39 22 37 31 38 5 33 14 43 23 34 32 42 6 40 15 45 24 42 33 53 7 45 16 39 25 37 34 37 8 42 17 38 26 44 35 49 9 43 18 36 27 42 36 39(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；(2)计算(1)中样本的均值和方差s2；(3)36名工人中年龄在－s与＋s之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)?解 (1)44，40，36，43，36，37，44，43，37.(2)＝＝40.s2＝[(44－40)2＋(40－40)2＋(36－40)2＋(43－40)2＋(36－40)2＋(37－40)2＋(44－40)2＋(43－40)2＋(37－40)2]＝.6\n(3)40－＝，40＋＝在有23个，占63.89%.11.(2022·全国Ⅱ卷)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；A地区B地区456789(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立.根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率.解 (1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散.(2)记CA1表示事件：“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；记CA2表示事件：“A地区用户的满意度等级为非常满意”；6\n记CB1表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”；记CB2表示事件：“B地区用户的满意度等级为满意”；则CA1与CB1独立，CA2与CB2独立，CB1与CB2互斥，C＝CB1CA1∪CB2CA2.P(C)＝P(CB1CA1∪CB2CA2)＝P(CB1CA1)＋P(CB2CA2)＝P(CB1)P(CA1)＋P(CB2)P(CA2).由所给数据得CA1，CA2，CB1，CB2发生的频率分别为，，，，故P(CA1)＝，P(CA2)＝，P(CB1)＝，P(CB2)＝，P(C)＝×＋×＝0.48.6
