第1讲 空间几何体中的计算问题一、选择题1.(2022·重庆卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.＋2πB.C.D.解析 该几何体由一个圆柱和一个半圆锥组成，其体积为V＝π×12×2＋×π×12×1＝2π＋＝π.答案 B2.某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是( )A.90cm2B.129cm2C.132cm2D.138cm2解析 该几何体如图所示，长方体的长、宽、高分别为6cm，4cm，3cm，直三棱柱的底面是直角三角形，边长分别为3cm，4cm，5cm，所以表面积6\nS＝(2×4×6＋2×3×4＋3×6＋3×3)＋＝138(cm2)，故选D.答案 D3.(2022·福建卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( )A.8＋2B.11＋2C.14＋2D.15解析 该几何体为底面是直角梯形的直四棱柱.S表＝2×(1＋2)×1＋2×1＋2×1＋2×2＋2×＝11＋2，故选B.答案 B4.(2022·全国Ⅰ卷)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝( )A.1B.2C.4D.8解析 由题意知，设几何体由一个半圆柱和一个半球拼接而成，∴2r·2r＋2πr2＋πr2＋πr2＋·4πr2＝4r2＋5πr2＝16＋20π，∴r＝2.答案 B5.三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，又SA＝AB＝BC＝1，则球O的表面积为( )A.π B.π6\nC.3π D.12π解析 如图，因为AB⊥BC，所以AC是△ABC所在截面圆的直径，又因为SA⊥平面ABC，所以△SAC所在的截面圆是球的大圆，所以SC是球的一条直径.由题设SA＝AB＝BC＝1，由勾股定理可求得：AC＝，SC＝，所以球的半径R＝，所以球的表面积为4π×＝3π.答案 C二、填空题6.(2022·昆明模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________.解析 由题意可得，几何体相当于一个棱长为2的正方体切去一个角，角的相邻三条棱长分别是1，2，2，所以几何体的体积为8－＝.答案 7.(2022·四川卷)在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥P－A1MN的体积是________.解析 由题意知还原后的几何体是一个直放的三棱柱，三棱柱的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，高为1的直三棱柱，∵VP－A1MN＝VA1－PMN，又∵AA1∥平面PMN，∴VA1－PMN＝VA－PMN，6\n∴VA－PMN＝××1××＝，故VP－A1MN＝.答案 8.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为________.解析 利用三棱锥的体积公式直接求解.VD1－EDF＝VF－DD1E＝S△D1DE·AB＝××1×1×1＝.另解(特殊点法)：让E点和A点重合，点F与点C重合，则VD1－EDF＝×S△ACD×D1D＝××1×1×1＝.答案 三、解答题9.(2022·全国Ⅱ卷)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.解 (1)交线围成的正方形EHGF.如图：(2)作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8.因为四边形EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.于是MH＝＝6，AH＝10，HB＝6.故＝×(4＋10)×8＝56，S四边形EB1BH＝×(12＋6)×8＝72.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为(也正确).6\n10.已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其内部有一个高为x的内接圆柱.(1)求圆柱的侧面积；(2)x为何值时，圆柱的侧面积最大？解 (1)作圆锥的轴截面，如图所示.因为＝，所以r＝R－x，所以S圆柱侧＝2πrx＝2πRx－x2(0＜x＜H).(2)因为－＜0，所以当x＝＝时，S圆柱侧最大.故当x＝，即圆柱的高为圆锥高的一半时，圆柱的侧面积最大.11.(2022·全国Ⅰ卷)如图，四边形ABCD为菱形，G是AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.(1)证明：平面AEC⊥平面BED；(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E－ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积.(1)证明 因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.因为BE⊥平面ABCD，所以AC⊥BE.故AC⊥平面BED.又AC⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.(2)解 设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝x，GB＝GD＝.因为AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG＝x.6\n由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，可得BE＝x.由已知得，三棱锥E－ACD的体积VE－ACD＝×AC·GD·BE＝x3＝.故x＝2.从而可得AE＝EC＝ED＝.所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为.故三棱锥E－ACD的侧面积为3＋2.6
