第2讲 三角变换与解三角形1．(2022·课标全国Ⅰ)sin20°cos10°－cos160°sin10°等于( )A．－B.C．－D.2．(2022·福建)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________．3．(2022·重庆)在△ABC中，B＝120°，AB＝，A的角平分线AD＝，则AC＝________.4．(2022·江苏)若△ABC的内角满足sinA＋sinB＝2sinC，则cosC的最小值是________．正弦定理和余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：1.边和角的计算；2.三角形形状的判断；3.面积的计算；4.有关的范围问题．由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视．热点一 三角恒等变换1．三角求值“三大类型”“给角求值”、“给值求值”、“给值求角”．2．三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等；(2)项的分拆与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等；(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；(4)弦、切互化：一般是切化弦．例1 (1)已知sin(α＋)＋sinα＝－，－<α<0，则cos(α＋)等于( )19\nA．－B．－C.D.(2)(2022·课标全国Ⅰ)设α∈(0，)，β∈(0，)，且tanα＝，则( )A．3α－β＝B．2α－β＝C．3α＋β＝D．2α＋β＝思维升华 (1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张冠李戴的情况．(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解．跟踪演练1 (1)(2022·重庆)若tanα＝2tan，则等于( )A．1B．2C．3D．4(2)－等于( )A．4B．2C．－2D．－4热点二 正弦定理、余弦定理(1)正弦定理：在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．变形：a＝2RsinA，sinA＝，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC等．(2)余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA；变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，cosA＝.例2 (2022·课标全国Ⅱ)如图，在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．(1)求；19\n(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长． 思维升华 关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．跟踪演练2 (1)(2022·课标全国Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是________________．(2)(2022·江西)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是( )A．3B.C.D．3热点三 解三角形与三角函数的综合问题解三角形与三角函数的综合是近几年高考的热点，主要考查三角形的基本量，三角形的面积或判断三角形的形状．19\n例3 (2022·山东)设f(x)＝sinxcosx－cos2.(1)求f(x)的单调区间；(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值． 思维升华 解三角形与三角函数的综合题，要优先考虑角的范围和角之间的关系；对最值或范围问题，可以转化为三角函数的值域来求．跟踪演练3 已知函数f(x)＝2cos(cos－sin)，在△ABC中，有f(A)＝＋1.(1)若a2－c2＝b2－mbc，求实数m的值；(2)若a＝1，求△ABC面积的最大值． 19\n1．在△ABC中，BC＝1，B＝，△ABC的面积S＝，则sinC等于( )A.B.C.D.2．已知函数f(x)＝sinωx·cosωx－cos2ωx(ω>0)的最小正周期为.(1)求ω的值；(2)在△ABC中，sinB，sinA，sinC成等比数列，求此时f(A)的值域． 二轮专题强化练专题三第2讲 三角变换与解三角形A组 专题通关1．已知α∈(，π)，sin(α＋)＝，则cosα等于( )A．－B.19\nC．－或D．－2．已知函数f(x)＝4sin(＋)，f(3α＋π)＝，f(3β＋)＝－，其中α，β∈[0，]，则cos(α－β)的值为( )A.B.C.D.3．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定4．(2022·广东)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cosA＝且b<c，则b等于( )A．3B．2C．2D.5．已知△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且tanB＝，·＝，则tanB等于( )A.B.－1C．2D．2－6．(2022·兰州第一中学期中)已知tanα＝4，则的值为________．7．(2022·天津)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cosA＝－，则a的值为________．8.如图，在一个塔底的水平面上的点A处测得该塔顶P的仰角为θ，由点A向塔底D沿直线行走了30m到达点B，测得塔顶P的仰角为2θ，再向塔底D前进10m到达点C，又测得塔顶的仰角为4θ，则塔PD的高度为________m.9．(2022·安徽皖南八校联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若B＝，且(a－b＋c)(a＋b－c)＝bc.(1)求cosC的值；19\n(2)若a＝5，求△ABC的面积．10．已知f(x)＝2sin(x－)－，现将f(x)的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数g(x)的图象．(1)求f()＋g()的值；(2)若a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，a＋c＝4，且当x＝B时，g(x)取得最大值，求b的取值范围．B组 能力提高11．(2022·成都新都一中月考)若α∈(0，)，则的最大值为________．12．(2022·湖北)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.13．在△ABC中，向量，的夹角为120°，＝2，且AD＝2，∠ADC＝120°，则△ABC的面积等于________．14．(2022·四川)如图，A，B，C，D为平面四边形ABCD的四个内角．(1)证明：tan＝；19\n(2)若A＋C＝180°，AB＝6，BC＝3，CD＝4，AD＝5，求tan＋tan＋tan＋tan的值．19\n学生用书答案精析第2讲 三角变换与解三角形高考真题体验1．D [sin20°cos10°－cos160°sin10°＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin30°＝.]2．2解析 如图所示，在△ABC中，由正弦定理得＝，解得sinB＝1，所以B＝90°，所以S△ABC＝×AB×2＝××2＝2.3.解析 由正弦定理得＝，即＝，解得sin∠ADB＝，∠ADB＝45°，从而∠BAD＝15°＝∠DAC，所以C＝180°－120°－30°＝30°，AC＝2ABcos30°＝.4.解析 由sinA＋sinB＝2sinC，结合正弦定理得a＋b＝2c.由余弦定理得cosC＝＝＝≥＝，故≤cosC<1，且3a2＝2b2时取“＝”．故cosC的最小值为.19\n热点分类突破例1 (1)C (2)B解析 (1)∵sin(α＋)＋sinα＝－，－<α<0，∴sinα＋cosα＝－，∴sinα＋cosα＝－，∴cos(α＋)＝cosαcos－sinαsin＝－cosα－sinα＝.(2)由tanα＝得＝，即sinαcosβ＝cosα＋cosαsinβ，∴sin(α－β)＝cosα＝sin(－α)．∵α∈(0，)，β∈(0，)，∴α－β∈(－，)，－α∈(0，)，∴由sin(α－β)＝sin(－α)，得α－β＝－α，∴2α－β＝.跟踪演练1 (1)C (2)D解析 (1)＝＝＝＝＝＝3.19\n(2)－＝－＝＝＝＝－4，故选D.例2 解 (1)S△ABD＝AB·ADsin∠BAD，S△ADC＝AC·ADsin∠CAD.因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，所以AB＝2AC.由正弦定理可得＝＝.(2)因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝.在△ABD和△ADC中，由余弦定理知AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6，由(1)知AB＝2AC，所以AC＝1.跟踪演练2 (1)(－，＋) (2)C解析 (1)如图所示，延长BA与CD相交于点E，过点C作CF∥AD交AB于点F，则BF<AB<BE.在等腰三角形CBF中，∠FCB＝30°，CF＝BC＝2，∴BF＝＝－.在等腰三角形ECB中，∠CEB＝30°，∠ECB＝75°，BE＝CE，BC＝2，＝，19\n∴BE＝×＝＋.∴－<AB<＋.(2)∵c2＝(a－b)2＋6，∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.①∵C＝，∴c2＝a2＋b2－2abcos＝a2＋b2－ab.②由①②得ab＝6.∴S△ABC＝absinC＝×6×＝.例3 解 (1)由题意知f(x)＝－＝－＝sin2x－.由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，可得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z；由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，可得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z)；单调递减区间是(k∈Z)．(2)由f＝sinA－＝0，得sinA＝，由题意知A为锐角，所以cosA＝.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，可得1＋bc＝b2＋c2≥2bc，即bc≤2＋，且当b＝c时等号成立．因此bcsinA≤.所以△ABC面积的最大值为.跟踪演练3 解 (1)f(x)＝2cos(·cos－sin)＝2cos2－2sin·cos＝＋cosx－sinx19\n＝＋2sin(－x)，由f(A)＝＋1，可得＋2sin(－A)＝＋1，所以sin(－A)＝.又A∈(0，π)，所以－A∈(－，)，所以－A＝，即A＝.由a2－c2＝b2－mbc及余弦定理，可得＝＝cosA＝，所以m＝.(2)由(1)知cosA＝，则sinA＝，又＝cosA＝，所以b2＋c2－a2＝bc≥2bc－a2，即bc≤(2＋)a2＝2＋，当且仅当b＝c时等号成立，所以S△ABC＝bcsinA≤，即△ABC面积的最大值为.高考押题精练1．D [因为在△ABC中，BC＝1，B＝，△ABC的面积S＝，所以S△ABC＝BC·BA·sinB＝，即×1×BA×＝，解得BA＝4.又由余弦定理，得AC2＝BC2＋BA2－2BC·BA·cosB，即得AC＝，由正弦定理，得＝，解得sinC＝.]2．解 (1)f(x)＝sin2ωx－(cos2ωx＋1)＝sin(2ωx－)－，因为函数f(x)的周期为T＝＝，所以ω＝.(2)由(1)知f(x)＝sin(3x－)－，19\n易得f(A)＝sin(3A－)－.因为sinB，sinA，sinC成等比数列，所以sin2A＝sinBsinC，所以a2＝bc，所以cosA＝＝≥＝(当且仅当b＝c时取等号)，因为0<A<π，所以0<A≤，所以－<3A－≤，所以－<sin(3A－)≤1，所以－1<sin(3A－)－≤，所以函数f(A)的值域为(－1，]．19\n二轮专题强化练答案精析第2讲 三角变换与解三角形1．A [∵α∈(，π)，∴α＋∈(π，π)，∵sin(α＋)＝，∴cos(α＋)＝－，∴cosα＝cos(α＋－)＝cos(α＋)cos＋sin(α＋)sin＝－×＋×＝－.]2．D [由f(3α＋π)＝，得4sin[(3α＋π)＋]＝，即4sin(α＋)＝，所以cosα＝，又α∈[0，]，所以sinα＝.由f(3β＋)＝－，得4sin[(3β＋)＋]＝－，即sin(β＋π)＝－，所以sinβ＝.又β∈[0，]，所以cosβ＝.所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝.]3．B [由bcosC＋ccosB＝asinA，19\n得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，即sin(B＋C)＝sin2A，所以sinA＝1，由0<A<π，得A＝，所以△ABC为直角三角形．]4．C [由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得4＝b2＋12－2×b×2×，即b2－6b＋8＝0，∴b＝4或b＝2，又b<c，∴b＝2.]5．D [由题意得，·＝||·||cosB＝accosB＝，即cosB＝，由余弦定理，得cosB＝＝⇒a2＋c2－b2＝1，所以tanB＝＝2－，故选D.]6.解析 ＝＝＝＝.7．8解析 ∵cosA＝－，0＜A＜π，∴sinA＝，S△ABC＝bcsinA＝bc×＝3，∴bc＝24，又b－c＝2，∴b2－2bc＋c2＝4，b2＋c2＝52，由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccosA＝52－2×24×＝64，∴a＝8.8．15解析 依题意有PD⊥AD，BA＝30m，BC＝10m，∠PAD＝θ，∠PBD＝2θ，∠PCD＝4θ，所以∠APB＝∠PBD－∠PAD＝θ＝∠PAD.19\n所以PB＝BA＝30m.同理可得PC＝BC＝10m.在△BPC中，由余弦定理，得cos2θ＝＝，所以2θ＝30°，4θ＝60°.在△PCD中，PD＝PC×sin4θ＝10×＝15(m)．9．解 (1)由(a－b＋c)(a＋b－c)＝bc可得a2－(b－c)2＝a2－b2－c2＋2bc＝bc，所以a2＝b2＋c2－bc，所以cosA＝＝，所以sinA＝＝，所以cosC＝－cos(A＋B)＝－(cosAcosB－sinAsinB)＝－(×－×)＝.(2)由(1)可得sinC＝＝，在△ABC中，由正弦定理＝＝，得c＝＝8，∴S＝acsinB＝×5×8×＝10.10．解 (1)因为g(x)＝2sin[(x＋)－]－＋＝2sin(x＋)，所以f()＋g()＝2sin(－)－＋2sin＝1.(2)因为g(x)＝2sin(x＋)，所以当x＋＝＋2kπ(k∈Z)，即x∈＋2kπ(k∈Z)时，g(x)取得最大值．因为x＝B时g(x)取得最大值，又B∈(0，π)，所以B＝.而b2＝a2＋c2－2accos＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac＝16－3ac≥16－3·()2＝16－12＝4，19\n所以b≥2.又b<a＋c＝4，所以b的取值范围是[2,4)．11.解析 ∵α∈(0，)，∴＝＝且tanα>0，∴＝≤＝，故的最大值为.12．100解析 在△ABC中，AB＝600，∠BAC＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°，由正弦定理得＝，即＝，所以BC＝300.在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，CD＝BCtan∠CBD＝300·tan30°＝100.13．2解析 在△ABC中，因为∠ADC＝120°，所以∠ADB＝60°，因为向量，的夹角为120°，所以∠B＝60°，所以△ADB为等边三角形．因为AD＝2，所以AB＝BD＝2.因为＝2，所以点D为BC的中点，所以BC＝4，所以△ABC的面积S△ABC＝BA·BC·sinB＝×2×4×sin60°＝2.14．(1)证明 tan＝＝＝.(2)解 由A＋C＝180°，得C＝180°－A，D＝180°－B，由(1)，有tan＋tan＋tan＋tan19\n＝＋＋＋＝＋.连接BD，在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcosA，在△BCD中，有BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcosC，所以AB2＋AD2－2AB·ADcosA＝BC2＋CD2＋2BC·CDcosA，则cosA＝＝＝，于是sinA＝＝＝.连接AC，同理可得cosB＝＝＝，于是sinB＝＝＝.所以tan＋tan＋tan＋tan＝＋＝＋＝.19
