解答题标准练(二)1．(2022·济南模拟)在△ABC中，AC＝BC＝2，AB＝2，＝.(1)求BM的长；(2)设D是平面ABC内一动点，且满足∠BDM＝，求BD＋MD的取值范围．解 (1)在△ABC中，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC.代入数据得cosC＝－.∵＝，∴CM＝MA＝AC＝1.在△CBM中，由余弦定理知，BM2＝CM2＋CB2－2CM·CB·cosC，代入数据得BM＝.(2)设∠DBM＝θ，则∠DMB＝－θ，θ∈.在△BDM中，由正弦定理知，＝＝＝，∴BD＝sin，MD＝sinθ，8\n∴BD＋MD＝sin＋sinθ＝＝cosθ.又θ∈，∴cosθ∈，∴BD＋MD的取值范围为.2．(2022·合肥模拟)某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题．该企业为了检查生产该产品的甲、乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在[195,210)内，则为合格品，否则为不合格品．表1是甲流水线样本的频数分布表，如图所示是乙流水线样本的频率分布直方图．表1：甲流水线样本的频数分布表：质量指标值频数[190,195)2[195,200)13[200,205)23[205,210)8[210,215]4(1)若将频率视为概率，某个月内甲、乙两条流水线均生产了6万件产品，则甲、乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件？(2)在甲流水线抽取的样本的不合格品中随机抽取两件，求两件不合格品的质量指标值均偏大的概率；(3)根据已知条件完成下面2×2列联表，并判断在犯错误的概率不超过0.1的前提下能否认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两条流水线的选择有关”？甲流水线乙流水线总计合格品8\n不合格品总计附：K2＝(其中n＝a＋b＋c＋d).P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解 (1)由甲、乙两条流水线各抽取50件产品可知，甲流水线生产的不合格品有6件，则甲流水线生产的产品为不合格品的概率P甲＝＝.乙流水线生产的产品为不合格品的概率P乙＝(0.016＋0.032)×5＝.于是，若某个月内甲、乙两条流水线均生产了6万件产品，则甲、乙两条流水线生产的不合格品分别为60000×＝7200(件)，60000×＝14400(件)．(2)在甲流水线抽取的样本中，不合格品共有6件，其中质量指标值偏小的有2件，记为A，B；质量指标值偏大的有4件，记为C，D，E，F，则从中任选2件有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15种结果，其中质量指标值都偏大有6种结果，故所求概率P＝＝.(3)2×2列联表如下：甲流水线乙流水线总计合格品443882不合格品61218总计50501008\n则K2＝≈2.439<2.706，所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下不能认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两条流水线的选择有关”．3．(2022·潍坊模拟)如图所示五面体ABCDEF，四边形ACFD是等腰梯形，AD∥FC，∠DAC＝，BC⊥平面ACFD，CA＝CB＝CF＝1，AD＝2CF，点G为AC的中点．(1)在AD上是否存在一点H，使GH∥平面BCD？若存在，指出点H的位置并给出证明；若不存在，请说明理由；(2)求三棱锥G－ECD的体积．解 (1)存在点H，H为AD的中点．证明如下：连接GH，在△ACD中，由三角形中位线定理可知GH∥CD，又GH⊄平面BCD，CD⊂平面BCD，∴GH∥平面BCD.(2)由题意知AD∥CF，AD⊂平面ADEB，CF⊄平面ADEB，∴CF∥平面ADEB，又CF⊂平面CFEB，平面CFEB∩平面ADEB＝BE，∴CF∥BE，∴VG－ECD＝VE－GCD＝VB－GCD，∵四边形ACFD是等腰梯形，∠DAC＝，∴∠ACD＝.又∵CA＝CB＝CF＝1，AD＝2CF，∴CD＝，CG＝.又BC⊥平面ACFD，∴VB－GCD＝×CG×CD×BC8\n＝××××1＝，∴三棱锥G－ECD的体积为.4．(2022·厦门质检)过椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与E交于A，B两点，直线l2与E交于C，D两点．当直线l1的斜率为0时，|AB|＝4，|CD|＝2.(1)求椭圆E的方程；(2)求四边形ABCD面积的取值范围．解 (1)由已知得a＝＝2，将x＝c代入＋＝1，得y＝±，所以|CD|＝＝＝2，所以b2＝4，所以椭圆E的方程为＋＝1.(2)①当直线l1，l2其中一条的斜率为0，另一条的斜率不存在时，S四边形ACBD＝|AB|·|CD|＝×4×2＝8.②当两条直线的斜率均存在时，设直线AB的方程为x＝my＋2，则直线CD的方程为x＝－y＋2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(m2＋2)y2＋4my－4＝0，Δ＝16m2＋16(m2＋2)＝32(m2＋1)，|y1－y2|＝＝，|AB|＝|y1－y2|＝，8\n(或y1＋y2＝，y1y2＝，|AB|＝＝)用－取代m，得|CD|＝＝，∴S四边形ACBD＝|AB|·|CD|＝××＝16×＝8×＝8－，又2m2＋≥4，当且仅当m＝±1时取等号，所以2m2＋∈，所以S四边形ACBD＝8－∈.综上，四边形ACBD面积的取值范围是.5．(2022·葫芦岛模拟)已知函数f(x)＝(a，b∈R，且a≠0，e为自然对数的底数)．(1)若曲线f(x)在点(e，f(e))处的切线斜率为0，且f(x)有极小值，求实数a的取值范围；(2)当a＝b＝1时，证明：xf(x)＋2<0.(1)解 因为f(x)＝(x>0)，所以f′(x)＝，因为f′(e)＝0，所以b＝0，则f′(x)＝，当a>0时，f′(x)在(0，e)内大于0，在(e，＋∞)内小于0，f(x)在(0，e)内为增函数，在(e，＋∞)内为减函数，即f(x)有极大值而无极小值；当a<0时，f(x)在(0，e)内为减函数，在(e，＋∞)内为增函数，即f(x)有极小值而无极大值．8\n所以a的取值范围为(－∞，0)．(2)证明 当a＝b＝1时，设g(x)＝xf(x)＋2＝lnx－ex＋2(x>0)，g′(x)＝－ex在区间(0，＋∞)上为减函数，因为g′(1)＝1－e<0，g′＝2－>0，所以存在实数x0∈，使得g′(x0)＝－＝0，此时g(x)在区间(0，x0)上为增函数，在区间(x0，＋∞)上为减函数，因为g′(x0)＝－＝0，所以＝，x0＝－lnx0.由单调性知，g(x)max＝g(x0)＝lnx0－＋2＝－＋2，因为x0∈，所以－<－2.所以g(x)max<0，即xf(x)＋2<0.6．在数列{an}中，Sn＋1＝4an＋2，a1＝1.(1)设cn＝，求证：数列{cn}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式及前n项和的公式．(1)证明 ∵Sn＋1＝4an＋2，①∴当n≥2，n∈N*时，Sn＝4an－1＋2.②①－②得an＋1＝4an－4an－1.方法一 对an＋1＝4an－4an－1两边同除以2n＋1，得＝2－，即＋＝2，即cn＋1＋cn－1＝2cn，∴数列{cn}是等差数列．8\n由Sn＋1＝4an＋2，得a1＋a2＝4a1＋2，则a2＝3a1＋2＝5，∴c1＝＝，c2＝＝，故公差d＝－＝，∴{cn}是以为首项，为公差的等差数列．方法二 ∵an＋1－2an＝2an－4an－1＝2(an－2an－1)，令bn＝an＋1－2an，则{bn}是以a2－2a1＝4a1＋2－a1－2a1＝3为首项，2为公比的等比数列，∴bn＝3·2n－1，∵cn＝，∴cn＋1－cn＝－＝＝＝＝，c1＝＝，∴{cn}是以为首项，为公差的等差数列．(2)解 由(1)可知数列是首项为，公差为的等差数列，∴＝＋(n－1)＝n－，an＝(3n－1)·2n－2是数列{an}的通项公式．设Sn＝(3－1)·2－1＋(3×2－1)·20＋…＋(3n－1)·2n－2，则2Sn＝(3－1)·20＋(3×2－1)·21＋…＋(3n－1)·2n－1，∴Sn＝2Sn－Sn＝－(3－1)·2－1－3(20＋21＋…＋2n－2)＋(3n－1)·2n－1＝－1－3×＋(3n－1)·2n－1＝－1＋3＋(3n－4)·2n－1＝2＋(3n－4)·2n－1.∴数列{an}的通项公式为an＝(3n－1)·2n－2，前n项和公式为Sn＝2＋(3n－4)·2n－1，n∈N*.8
