解答题标准练(一)1．如图，在△ABC中，已知B＝，AC＝4，D为BC边上一点．(1)若AD＝2，S△DAC＝2，求DC的长；(2)若AB＝AD，试求△ADC的周长的最大值．解 (1)∵S△DAC＝2，∴·AD·AC·sin∠DAC＝2，∴sin∠DAC＝.∵∠DAC<∠BAC<π－＝，∴∠DAC＝.在△ADC中，由余弦定理得，DC2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos，∴DC2＝4＋48－2×2×4×＝28，∴DC＝2.(2)∵AB＝AD，B＝，∴△ABD为正三角形．在△ADC中，根据正弦定理，可得＝＝，∴AD＝8sinC，DC＝8sin，∴△ADC的周长为AD＋DC＋AC＝8sinC＋8sin＋4＝8＋47\n＝8＋4＝8sin＋4，∵∠ADC＝，∴0<C<，∴<C＋<，∴当C＋＝，即C＝时，△ADC的周长取得最大值，且最大值为8＋4.2．(2022·河北省衡水中学模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，数列{bn}是等比数列，a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)若cn＝设数列{cn}的前n项和为Tn，求T2n.解 (1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q(q≠0)，∵a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3，∴解得d＝2，q＝2，∴an＝2n＋1(n∈N*)，bn＝2n－1(n∈N*)．(2)由(1)知，Sn＝＝n(n＋2)，∴cn＝∴T2n＝＋(21＋23＋25＋…＋22n－1)＝－(n∈N*)．3．(2022·南昌模拟)十九大提出：坚决打赢脱贫攻坚战，做到精准扶贫，某帮扶单位为帮助定点扶贫村真正脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，帮助贫困村种植蜜柚，并利用互联网电商渠道进行销售．为了更好地销售，现从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚进行测重，其质量分布在区间[1500,3000]内(单位：克)，统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示：(1)按分层抽样的方法从质量落在[1750,2000)，[2000,2250)内的蜜柚中随机抽取5个，再从这5个蜜柚中随机抽取2个，求这2个蜜柚质量均小于2000克的概率；7\n(2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均值，以频率代表概率，已知该贫困村的蜜柚树上大约还有5000个蜜柚待出售，某电商提出两种收购方案：A．所有蜜柚均以40元/千克收购；B．低于2250克的蜜柚以60元/个收购，高于或等于2250的以80元/个收购．请你通过计算为该村选择收益最好的方案．解 (1)由题意得蜜柚质量在[1750,2000)和[2000，2250)内的比例为2∶3，∴应分别在质量为[1750,2000)，[2000,2250)内的蜜柚中各抽取2个和3个．记抽取质量在[1750,2000)内的蜜柚为A1，A2，质量在[2000,2250)内的蜜柚为B1，B2，B3，则从这5个蜜柚中随机抽取2个的情况共有以下10种：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，其中质量均小于2000克的仅有(A1，A2)这1种情况，故所求概率为.(2)方案A好，理由如下：由频率分布直方图可知，蜜柚质量在[1500,1750)的频率为250×0.0004＝0.1，同理，蜜柚质量在[1750,2000)，[2000,2250)，[2250，2500)，[2500,2750)，[2750,3000]内的频率依次为0.1，0.15,0.4,0.2,0.05.若按方案A收购：根据题意各段蜜柚个数依次为500,500,750,2000,1000,250，于是总收益为×40÷1000＝×250×[(6＋7)×2＋(7＋8)×2＋(8＋9)×3＋(9＋10)×8＋(10＋11)×4＋(11＋12)×1]×40÷1000＝25×50×(26＋30＋51＋152＋84＋23)＝457500(元)．若按方案B收购：7\n∵蜜柚质量低于2250克的个数为(0.1＋0.1＋0.15)×5000＝1750，蜜柚质量高于2250克的个数为5000－1750＝3250，∴收益为1750×60＋3250×80＝250×20×(7×3＋13×4)＝365000(元)，∴方案A的收益比方案B的收益高，应该选择方案A.4．(2022·威海模拟)如图，在多面体ABCDEF中，BC∥EF，BF＝，△ABC是边长为2的等边三角形，四边形ACDF是菱形，∠FAC＝60°，M，N分别是AB，DF的中点．求证：(1)MN∥平面AEF；(2)平面ABC⊥平面ACDF.证明 (1)取AC的中点O，连接OM，ON，因为M，N分别是AB，DF的中点，所以在菱形ACDF中，ON∥AF，又ON⊄平面AEF，AF⊂平面AEF，所以ON∥平面AEF.在△ABC中，OM∥BC，又BC∥EF，所以OM∥EF，又OM⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，所以OM∥平面AEF，又OM∩ON＝O，所以平面OMN∥平面AEF，又MN⊂平面OMN，所以MN∥平面AEF.(2)连接OF，OB，因为△ABC是边长为2的等边三角形，所以BO⊥AC，BO＝，因为四边形ACDF是菱形，所以AF＝2，7\n因为∠FAC＝60°，所以OF⊥AC，OF＝，因为BF＝，所以BO2＋OF2＝BF2，所以BO⊥OF.又FO∩AC＝O，FO，AC⊂平面ACDF，所以BO⊥平面ACDF，又BO⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ACDF.5．(2022·咸阳模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，且椭圆C的离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆C的右顶点，过P点作两条直线分别与椭圆C交于另一点A，B，若直线PA，PB的斜率之积为－，求证：直线AB恒过一个定点，并求出这个定点的坐标．解 (1)依题意得解得a＝2，b＝，即椭圆C的方程为＋＝1.(2)设直线AB的方程为x＝ty＋m(－2<m<2)，则由得3(ty＋m)2＋4y2＝12，即(3t2＋4)y2＋6tmy＋3m2－12＝0，Δ＝(6tm)2－4(3t2＋4)(3m2－12)＝144t2－48m2＋192>0，y1＋y2＝，y1·y2＝.设A(ty1＋m，y1)，B(ty2＋m，y2)，而P(2,0)，则由kPA·kPB＝－，得·＝－，即4y1y2＋9(ty1＋m－2)(ty2＋m－2)＝0，∴(4＋9t2)y1y2＋9t(m－2)(y1＋y2)＋9(m－2)2＝0，即(4＋9t2)＋9t(m－2)＋9(m－2)2＝0，整理得m2－3m＋2＝0，解得m＝1或m＝2(舍去)，当m＝1时，满足Δ>0，7\n∴直线AB的方程为x＝ty＋1，即直线AB恒过定点(1,0)．6．(2022·峨眉山模拟)已知函数f(x)＝ex(sinx－ax2＋2a－e)，其中a∈R，e＝2.71828…为自然对数的底数．(1)当a＝0时，讨论函数f(x)的单调性；(2)当≤a≤1时，求证：对任意的x∈[0，＋∞)，f(x)<0.(1)解 当a＝0时，f(x)＝ex(sinx－e)，f′(x)＝ex(sinx＋cosx－e)＝ex<0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减．(2)证明 要证ex<0对任意的x∈[0，＋∞)恒成立，即证sinx－ax2＋2a－e<0对任意的x∈[0，＋∞)恒成立，令g(a)＝(2－x2)a＋sinx－e，即证当a∈时，g(a)＝(2－x2)a＋sinx－e<0恒成立，即证 成立．∵sinx＋1<e，∴①式成立．现证明②式成立：令h(x)＝sinx－x2＋2－e，h′(x)＝cosx－2x，设存在x0∈[0，＋∞)，使得h′(x0)＝cosx0－2x0＝0，则0<x0<，h(x)在(0，x0)上单调递增，在[x0，＋∞)上单调递減，∴h(x)max＝h(x0)＝sinx0－x＋2－e＝sinx0－＋2－e＝＋sinx0＋－e.∵0<x0<，∴sinx0∈，7\n∴＋sinx0＋－e<－e<0.综上所述，当x∈[0，＋∞)时，f(x)<0恒成立．7
