[80分]解答题标准练(二)1．(2022·威海模拟)在△ABC中，边BC上一点D满足AB⊥AD，AD＝DC.(1)若BD＝2DC＝2，求边AC的长；(2)若AB＝AC，求sinB.解 (1)∵AB⊥AD，∴在Rt△ABD中，sin∠ABD＝＝，∴∠ABD＝60°，AB＝1.在△ABC中，AB＝1，BC＝3，由余弦定理可得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝1＋9－2×1×3×＝7，∴AC＝.(2)在△ACD中，由正弦定理可得＝，∵AD＝DC，∴＝，∵AB＝AC，∴B＝C，∴∠BAC＝180°－2B，∵∠BAD＝90°，∴∠DAC＝∠BAC－∠BAD＝180°－2B－90°＝90°－2B，10\n∴＝，∴＝，化简得2sin2B＋sinB－＝0，即(sinB－1)(2sinB＋)＝0，∵sinB>0，∴sinB＝.2．(2022·安徽省亳州市涡阳一中模拟)如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，已知∠B1C1A1＝90°，异面直线AB1⊥A1C，且AA1＝AC.(1)求证：平面ACC1A1⊥平面A1B1C1；(2)若AC1＝AA1＝B1C1，求直线A1C1与平面ABB1A1所成角的正弦值．(1)证明 因为AA1＝AC，所以四边形ACC1A1是菱形，所以A1C⊥AC1，又因为异面直线AB1⊥A1C，AC1∩AB1＝A，AB1，AC1⊂平面AB1C1，所以A1C⊥平面AB1C1，又B1C1⊂平面AB1C1，所以A1C⊥B1C1.又因为∠B1C1A1＝90°，即B1C1⊥A1C1，且A1C1∩A1C＝A1，A1C，A1C1⊂平面ACC1A1，所以B1C1⊥平面ACC1A1，又B1C1⊂平面A1B1C1，所以平面ACC1A1⊥平面A1B1C1.(2)解 设O是A1C1的中点，因为AC1＝AA1，所以AO⊥A1C1，由(1)可知，AO⊥平面A1B1C1，10\n以O为坐标原点，过点O且与C1B1平行的直线为x轴，以OC1所在直线为y轴，以OA所在直线为z轴，建立空间直角坐标系O－xyz，设AA1＝2，则A(0,0，)，A1(0，－1,0)，C1(0,1,0)，B1(2,1,0)，设A1C1与平面ABB1A1所成的角为θ，因为＝(0,2,0)，＝(2,2,0)，＝(0,1，)，设平面ABB1A1的一个法向量是n＝(x，y，z)，则即不妨令x＝1，则y＝－1，z＝，可得n＝，所以sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝，所以直线A1C1与平面ABB1A1所成角的正弦值为.3．(2022·山西省运城市康杰中学模拟)在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1∶3，且成绩分布在[40,100]内，分数在80以上(含80)的同学获奖．按文、理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图(见下图)．(1)填写下面的2×2列联表，判断能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文、理科有关”？10\n文科生理科生总计获奖5不获奖总计200(2)将上述调査所得的频率视为概率，现从该校参与竞赛的学生中，任意抽取3名学生，记“获奖”学生人数为X，求X的分布列及期望．附表及公式：K2＝，n＝a＋b＋c＋d.其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.005k02.0722.7063.8415.0246.6357.879解 (1)文科生理科生总计获奖53540不获奖45115160总计50150200K2＝＝≈4.167>3.841，所以有超过95%的把握认为“获奖与学生的文、理科有关”．(2)由表中数据可知，将频率视为概率，从该校参赛学生中任意抽取一人，抽到获奖同学的概率为.X的所有可能的取值为0,1,2,3，且X～B.P(X＝k)＝C×k×3－k(k＝0,1,2,3)．P(X＝0)＝C×0×3－0＝，P(X＝1)＝C×1×3－1＝，P(X＝2)＝C×2×1＝，10\nP(X＝3)＝C×3×0＝，所以X的分布列为X0123PE(X)＝3×＝.4．(2022·安徽省“皖江八校”联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F(－c,0)，右顶点为A，点E的坐标为(0，c)，△EFA的面积为，过点E的动直线l被椭圆C所截得的线段MN长度的最小值为.(1)求椭圆C的方程；(2)B是椭圆C上异于顶点的一点，且直线OB⊥l，D是线段OB延长线上一点，且|DB|＝|MN|，⊙D的半径为|DB|，OP，OQ是⊙D的两条切线，切点分别为P，Q，求∠POQ的最大值，并求出取得最大值时直线l的斜率．解 (1)由已知，可得(c＋a)c＝.又由b2＝a2－c2，可得2c2＋ac－a2＝0，解得a＝2c，设椭圆C的方程为＋＝1，当直线l的斜率不存在时，线段MN的长为2c；当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝kx＋c，由得(4k2＋3)x2＋8kcx－8c2＝0，Δ＝(8kc)2＋32c2(4k2＋3)>0，从而|MN|＝·＝＝2c·＝2c·<2c，10\n易知当k＝0时，|MN|的最小值为c，从而c＝1，因此，椭圆C的方程为＋＝1.(2)由B是椭圆上异于顶点的一点且直线OB⊥l，可知l的斜率存在且不为0.由(1)知，|MN|＝，而⊙D的半径r＝|MN|，又直线OB的方程为y＝－x，由得x＝，因此|OB|＝·|xB|＝，由题意可知sin＝＝，要求∠POQ的最大值，即求的最小值．而＝＝·＝，令u＝4k2＋3，10\n则u>3，∈，因此＝＝＝≥1，当且仅当＝2，即u＝时等号成立，此时k＝±，所以sin≤，因此≤，所以∠POQ的最大值为.综上所述，∠POQ的最大值为，取得最大值时直线l的斜率k＝±.5．(2022·四川省成都市第七中学模拟)已知函数f(x)＝(x>0，a∈R)．(1)当a>－时，判断函数f(x)的单调性；(2)当f(x)有两个极值点时，若f(x)的极大值小于整数m，求m的最小值．解 (1)由题意知，f′(x)＝＝(x>0)．令h(x)＝(－x2＋3x－3)ex－a(x>0)，则h′(x)＝(－x2＋x)ex，当0<x<1时，h′(x)>0，h(x)为增函数；当x>1时，h′(x)<0，h(x)为减函数．故h(x)在x＝1处取得极大值，也为最大值．则h(x)max＝h(1)＝－e－a.由于a>－，所以h(x)max＝h(1)＝－e－a<0，所以f′(x)<0，10\n于是f(x)为(0，＋∞)上的减函数．(2)令h(x)＝(－x2＋3x－3)ex－a(x>0)，则h′(x)＝(－x2＋x)ex，当0<x<1时，h′(x)>0，h(x)为增函数；当x>1时，h′(x)<0，h(x)为减函数．当x趋近于＋∞时，h(x)趋近于－∞.由于f(x)有两个极值点，所以f′(x)＝0有两个不等实根，即h(x)＝(－x2＋3x－3)ex－a＝0有两不等实根x1，x2(x1<x2)．则解得－3<a<－e.可知x1∈(0,1)，由于h(1)＝－e－a>0，h＝－e－a<－e＋3<0，则x2∈.而f′(x2)＝＝0，即ex2＝，①所以f(x)极大值＝f(x2)＝，于是f(x2)＝，②令t＝x2－2，则x2＝t＋2，则②可变为g(t)＝a＝a，可得－1<<－，而－3<a<－e，则有g(t)＝a＝a<3，下面再说明对于任意－3<a<－e，x2∈，f(x2)>2.又由①得a＝(－x＋3x2－3)，10\n把它代入②得f(x2)＝(2－x2)，所以当x2∈时，f′(x2)＝(1－x2)<0恒成立，故f(x2)＝(2－x2)为上的减函数，所以f(x2)>f＝>2.所以满足题意的整数m的最小值为3.6．在数列{an}中，Sn＋1＝4an＋2，a1＝1.(1)设cn＝，求证：数列{cn}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式及前n项和的公式．(1)证明 ∵Sn＋1＝4an＋2，①∴当n≥2，n∈N*时，Sn＝4an－1＋2.②①－②得an＋1＝4an－4an－1.方法一 对an＋1＝4an－4an－1两边同除以2n＋1，得＝2－，即＋＝2，即cn＋1＋cn－1＝2cn，∴数列{cn}是等差数列．由Sn＋1＝4an＋2，得a1＋a2＝4a1＋2，则a2＝3a1＋2＝5，∴c1＝＝，c2＝＝，故公差d＝－＝，∴{cn}是以为首项，为公差的等差数列．方法二 ∵an＋1－2an＝2an－4an－1＝2(an－2an－1)，令bn＝an＋1－2an，则{bn}是以a2－2a1＝4a1＋2－a1－2a1＝3为首项，2为公比的等比数列，∴bn＝3·2n－1，10\n∵cn＝，∴cn＋1－cn＝－＝＝＝＝，c1＝＝，∴{cn}是以为首项，为公差的等差数列．(2)解 由(1)可知数列是首项为，公差为的等差数列，∴＝＋(n－1)＝n－，an＝(3n－1)·2n－2是数列{an}的通项公式．设Sn＝(3－1)·2－1＋(3×2－1)·20＋…＋(3n－1)·2n－2，则2Sn＝(3－1)·20＋(3×2－1)·21＋…＋(3n－1)·2n－1，∴Sn＝2Sn－Sn＝－(3－1)·2－1－3(20＋21＋…＋2n－2)＋(3n－1)·2n－1＝－1－3×＋(3n－1)·2n－1＝－1＋3＋(3n－4)·2n－1＝2＋(3n－4)·2n－1.∴数列{an}的通项公式为an＝(3n－1)·2n－2，前n项和公式为Sn＝2＋(3n－4)·2n－1，n∈N*.10
