8＋6分项练2 不等式与推理证明1．(2022·合肥模拟)已知非零实数a，b满足a|a|>b|b|，则下列不等式一定成立的是( )A．a3>b3B．a2>b2C.<D．log|a|<log|b|答案 A解析 利用排除法：当a＝－1，b＝－2时，a2>b2与log|a|<log|b|都不成立，可排除选项B，D；当a＝1，b＝－2时，<不成立，可排除选项C.2．如下图是元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( )9\n答案 A解析 该五角星对角上的两盏花灯依次按逆时针方向亮一盏，故下一个呈现出来的图形是A，故选A.3．(2022·北京师范大学附中模拟)已知a>0，b>0，并且，，成等差数列，则a＋9b的最小值为( )A．16B．9C．5D．4答案 A解析 ∵，，成等差数列，∴＋＝1.∴a＋9b＝(a＋9b)＝10＋＋≥10＋2＝16，当且仅当＝且＋＝1，即a＝4，b＝时等号成立．4．有三支股票A，B，C,28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票，在不持有A股票的人中，持有B股票的人数是持有C股票的人数的2倍．在持有A股票的人中，只持有A股票的人数比除了持有A股票外，同时还持有其它股票的人数多1.在只持有一支股票的人中，有一半持有A股票．则只持有B股票的股民人数是( )A．7B．6C．5D．4答案 A解析 设只持有A股票的人数为X(如图所示)，则持有A股票还持有其它股票的人数为X－1(图中d＋e＋f的和)，因为只持有一支股票的人中，有一半持有A股票，则只持有了B或C股票的人数和为X(图中b＋c部分)．假设只同时持有了B和C股票的人数为a(如图所示)，那么X＋X－1＋X＋a＝28，即3X＋a＝29，则X9\n的取值可能是9,8,7,6,5,4,3,2,1.与之对应的a值为2,5,8,11,14,17,20,23,26.因为没持有A股票的股民中，持有B股票的人数为持有C股票人数的2倍，得b＋a＝2(c＋a)，即X－a＝3c，故当X＝8，a＝5时满足题意，故c＝1，b＝7，故只持有B股票的股民人数是7，故选A.5．(2022·哈尔滨师范大学附属中学模拟)设点(x，y)满足约束条件且x∈Z，y∈Z，则这样的点共有( )A．12个B．11个C．10个D．9个答案 A解析 画出表示的可行域(含边界)，由图可知，满足x∈Z，y∈Z的(x，y)有(－4，－1)，(－3,0)，(－2,1)，(－2,0)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，共12个．6.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为( )A.≥(a>0，b>0)B．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0)C.≤(a>0，b>0)D.≤(a>0，b>0)答案 D9\n解析 由AC＝a，BC＝b，可得圆O的半径r＝，又OC＝OB－BC＝－b＝，则FC2＝OC2＋OF2＝＋＝，再根据题图知FO≤FC，即≤，当且仅当a＝b时取等号．故选D.7．已知实数x，y满足约束条件如果目标函数z＝x＋ay的最大值为，则实数a的值为( )A．3B.C．3或D．3或－答案 D解析 先画出线性约束条件所表示的可行域(含边界)，当a＝0时不满足题意，故a≠0.目标函数化为y＝－x＋z，当a>0时，－<0，(1)当－≤－<0，即a≥2时，最优解为A，z＝＋a＝，a＝3，满足a≥2；(2)当－<－，即0<a<2时，最优解为B，z＝3＋a＝，a＝，不满足0<a<2，舍去；当a<0时，－>0，(3)当0<－<，即a<－2时，最优解为C(－2，－2)，z＝－2－2a＝，a＝－，满足a<－2；(4)当－≥，即－2≤a<0时，最优解为B，z＝3＋a＝，a＝，不满足－2≤a<0，舍去．9\n综上，实数a的值为3或－，故选D.8．(2022·天津市河东区模拟)已知正实数a，b，c满足a2－ab＋4b2－c＝0，当取最小值时，a＋b－c的最大值为( )A．2B.C.D.答案 C解析 正实数a，b，c满足a2－ab＋4b2－c＝0，可得c＝a2－ab＋4b2，＝＝＋－1≥2－1＝3.当且仅当a＝2b时取得等号，则当a＝2b时，取得最小值，且c＝6b2，∴a＋b－c＝2b＋b－6b2＝－6b2＋3b＝－62＋，∴当b＝时，a＋b－c有最大值.9．(2022·华大新高考联盟模拟)若实数x，y满足不等式组则x2＋y2的取值范围是________．答案 [0,2]解析 画出可行域如图阴影部分所示(含边界)，x2＋y2的几何意义是阴影内的点到原点的距离的平方，显然O点为最小值点，而A(1,1)为最大值点，故x2＋y2的取值范围是[0,2]．10．已知实数x，y满足如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m＝________.答案 5解析 绘制不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示(含边界)，9\n联立直线方程可得交点坐标为A，由目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值，所以－＝－1，解得m＝5.11．(2022·南平模拟)若实数x，y满足且z＝mx＋ny(m>0，n>0)的最大值为4，则＋的最小值为________．答案 2解析 作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)．由可行域知可行域内的点(x，y)均满足x≥0，y≥0.所以要使z＝mx＋ny(m>0，n>0)最大，只需x最大，y最大即可，即在点A处取得最大值．联立解得A(2,2)．所以有2m＋2n＝4，即m＋n＝2.＋＝(m＋n)＝≥×(2＋2)＝2.当且仅当m＝n＝1时，＋取得最小值2.12．(2022·湘潭模拟)设x，y满足约束条件若的最大值为2，则z＝x－y的最小值为________．答案 －解析 令X＝x＋y，Y＝x－y，则x＝，y＝，9\n所以等价于作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)，则＝表示可行域内一点(X，Y)与原点的连线的斜率，由图象可知，当X＝2a－，Y＝时，取得最大值，则＝2，解得a＝，联立解得Y＝－，所以z的最小值为－.13．中国古代数学名著《周髀算经》曾记载有“勾股各自乘，并而开方除之”，用符号表示为a2＋b2＝c2(a，b，c∈N*)，我们把a，b，c叫做勾股数．下列给出几组勾股数：3,4,5；5,12,13；7,24,25；9,40,41，以此类推，可猜测第五组勾股数的三个数依次是________．答案 11,60,61解析 由前四组勾股数可得第五组的第一个数为11，第二，三个数为相邻的两个整数，可设为x，x＋1，所以(x＋1)2＝112＋x2，所以x＝60，所以第五组勾股数的三个数依次是11,60,61.14．(2022·漳州质检)分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB的长度为a，在线段AB上取两个点C，D，使得AC＝DB＝AB，以CD为一边在线段AB的上方做一个正六边形，然后去掉线段CD，得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段EF做相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：9\n记第n个图形(图1为第1个图形)中的所有线段长的和为Sn，现给出有关数列{Sn}的四个命题：①数列{Sn}是等比数列；②数列{Sn}是递增数列；③存在最小的正数a，使得对任意的正整数n，都有Sn>2018；④存在最大的正数a，使得对任意的正整数n，都有Sn<2018.其中真命题是________．(请写出所有真命题的序号)答案 ②④解析 由题意，得图1中的线段为a，S1＝a，图2中的正六边形的边长为，S2＝S1＋×4＝S1＋2a，图3中的最小正六边形的边长为，S3＝S2＋×4＝S2＋a，图4中的最小正六边形的边长为，S4＝S3＋×4＝S3＋，由此类推，Sn－Sn－1＝(n≥2)，即{Sn}为递增数列，但不是等比数列，即①错误，②正确；因为Sn＝S1＋(S2－S1)＋(S3－S2)＋…＋(Sn－Sn－1)＝a＋2a＋a＋＋…＋＝a＋＝a＋4a<5a，n≥2，9\n又S1＝a<5a，所以存在最大的正数a＝，使得对任意的正整数n，都有Sn<2018，即④正确，③错误．9
