8＋6分项练5 三角函数与解三角形1．(2022·山东)已知cosx＝，则cos2x等于( )A．－B.C．－D.答案 D解析 cos2x＝2cos2x－1＝2×2－1＝.故选D.2．(2022·漳州质检)为了得到函数y＝cos2x－sin2x＋1的图象，只需将函数y＝(sinx＋cosx)2的图象( )A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度答案 D解析 因为y＝cos2x－sin2x＋1＝cos2x＋1＝sin＋19\n＝sin＋1，且y＝(sinx＋cosx)2＝sin2x＋1，所以为了得到函数y＝cos2x－sin2x＋1的图象，只需将函数y＝(sinx＋cosx)2的图象向左平移个单位长度．3.如图所示，某地一天6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b，则这段曲线的函数解析式可以为( )A．y＝10sin＋20，x∈[6,14]B．y＝10sin＋20，x∈[6,14]C．y＝10sin＋20，x∈[6,14]D．y＝10sin＋20，x∈[6,14]答案 A解析 由＝2(14－6)＝16，得ω＝，A＝(30－10)＝10，b＝20，由y＝10sin＋20过点(14,30)，得30＝10sin＋20，sin＝1，φ＋＝2kπ＋，k∈Z，φ＝2kπ－，k∈Z，取k＝1，得φ＝，所以y＝10sin＋20.4．(2022·上饶模拟)如图所示的是函数y＝sin(ωx＋φ)在区间上的图象，将该函数图象各点的横坐标缩小到原来的一半(纵坐标不变)，再向右平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图象关于直线x＝对称，则m的最小值为( )9\nA.B.C.D.答案 C解析 由函数y＝sin(ωx＋φ)的图象可得T＝＝－＝π，∴ω＝2.再由五点法作图可得2×＋φ＝0，∴φ＝.故函数f(x)的解析式为f(x)＝sin.故把f(x)＝sin的图象各点的横坐标缩小到原来的一半(纵坐标不变)，再向右平移m(m>0)个单位长度后，得到g(x)＝sin的图象，∵所得图象关于直线x＝对称，∴4×－4m＋＝＋kπ，k∈Z，解得m＝－kπ，k∈Z，∴由m>0，可得当k＝1时，m的最小值为.5．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完美等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S＝，现有周长为10＋2的△ABC满足sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶，则用以上给出的公式求得△ABC的面积为( )A．6B．4C．8D．12答案 A9\n解析 因为sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶，所以由正弦定理得a∶b∶c＝2∶3∶，又因为△ABC的周长为10＋2，所以可得a＝4，b＝6，c＝2，所以△ABC的面积为S＝＝＝6，故选A.6．(2022·湖南省长郡中学模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S＝(a＋b)2－c2，则tanC等于( )A．－B．－C.D.答案 B解析 ∵2S＝(a＋b)2－c2，∴absinC＝(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab＝2abcosC＋2ab，∴sinC＝2cosC＋2，∴sin2C＝(2cosC＋2)2＝1－cos2C，∴cosC＝－(cosC＝－1舍去)，又∵C为三角形的内角，∴sinC＝，tanC＝＝－.7．(2022·漳州质检)在△ABC中，C＝60°，BC＝2AC＝2，点D在边BC上，且sin∠BAD＝，则CD等于( )A.B.C.D.9\n答案 D解析 ∵C＝60°，BC＝2AC＝2，∴AB＝＝＝3，∴cosB＝＝＝，又∵B是三角形的内角，∴B＝30°，∴∠BAC＝90°，∵sin∠BAD＝，∴cos∠BAD＝＝，可得sin∠DAC＝cos∠BAD＝，∵在△ABD中，由正弦定理可得AD＝，在△ADC中，由正弦定理可得AD＝，∴＝，解得DC＝.8．已知函数f(x)＝sinωx－cosωx(ω>0)，若方程f(x)＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为( )A.B.C.D.答案 B解析 f(x)＝2sin，作出f(x)的函数图象如图所示：9\n令2sin＝－1得，ωx－＝－＋2kπ，k∈Z或ωx－＝＋2kπ，k∈Z，∴x＝＋，k∈Z或x＝＋，k∈Z，设直线y＝－1与y＝f(x)在(0，＋∞)上从左到右的第4个交点为A，第5个交点为B，则xA＝＋，xB＝＋，∵方程f(x)＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，∴xA<π≤xB，即＋<π≤＋，解得<ω≤.9．已知在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝，c＝3，cosA＝，则b＝________.答案 2解析 由余弦定理知，a2＝b2＋c2－2bccosA，可得10＝b2＋9－2·b·3·，b2－b－1＝0，所以(b－2)(b＋)＝0，解得b＝2(舍负)．10．(2022·河南省南阳市第一中学模拟)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)，若f＝2，f(π)＝0，f(x)在上具有单调性，那么ω的取值共有________个．答案 9解析 因为f＝2，f(π)＝0，所以ω＋φ＝＋2kπ，πω＋φ＝mπ(k，m∈Z)，所以ω＝，m，k∈Z，因为f(x)在上具有单调性，所以≥－，所以T≥，9\n所以≥，所以0<ω≤12，因此m－2k＝1,2,3,4,5,6,7,8,9，所以ω的取值共有9个．11．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知∠A＝，a＝7，b＝5，点D满足＝2，则c＝________；＝________.答案 8 解析 如图，∠A＝，a＝7，b＝5.∴根据余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，即72＝52＋c2－2×5×c×，∴c＝8或c＝－3(舍去)，∴cosB＝＝＝.∵点D满足＝2，∴＝a＝.在△ABD中，由余弦定理可得AD2＝BD2＋c2－2BD·c·cosB＝2＋64－2××8×＝.∴AD＝，即||＝.12．(2022·湖南省岳阳市第一中学模拟)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若bc＝1，b＋2ccosA＝0，则当角B取得最大值时，三角形的内切圆的半径r＝________.答案 －解析 因为b＋2ccosA＝0，所以A∈，9\n且sinB＋2sinCcosA＝0，即3sinCcosA＋cosCsinA＝0,3tanC＋tanA＝0.tanB＝－＝≤，当且仅当C＝时等号成立，故Bmax＝，所以B＝C，即b＝c＝1，a＝，此时r＝×1×1×，解得r＝－.13．(2022·湛江模拟)如图，游客从景点A下山至C有两种路径：一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟．在甲出发2分钟后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1分钟后，再从B匀速步行到C.已知缆车从A到B要8分钟，AC长为1260米，若cosA＝，sinB＝.为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，则乙步行的速度v(米/分钟)的取值范围是________．答案 解析 在△ABC中已知b＝1260，cosA＝，sinB＝，则sinA＝，由正弦定理可得，a＝＝＝500，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA得5002＝12602＋c2－2×1260×c×，解得c1＝1040，c2＝，若c＝，与题图中AC最大矛盾，舍去，据此可得，c＝1040.乙从B出发时，甲已经走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710m才能到达C.9\n设乙步行的速度为vm/min，由题意得－3≤－≤3，解得≤v≤，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在范围内．14．(2022·泉州质检)在△ABC中，D为BC的中点，AC＝2，AD＝，CD＝1，点P与点B在直线AC的异侧，且PB＝BC，则平面四边形ADCP的面积的最大值为________．答案 解析 根据题意可以求得cos∠ACD＝＝，因为∠ACD是三角形的内角，所以∠ACD＝30°，则点B到边AC的距离为2×1×sin30°＝1，因为点P与点B在直线AC的异侧，且PB＝BC，所以点P在以B为圆心，以2为半径的圆上，当点P到直线AC的距离最大时，四边形ADCP的面积最大，此时点B到直线AC的距离最小，此时点P到直线AC的距离为2－1＝1，此时四边形的面积S＝×1×2×＋×2×1＝.9
