8＋6分项练5 三角函数与解三角形1．(2022·河北省衡水中学模拟)已知sinα＝，α∈，则cos的值为( )A.B.C.D.答案 A解析 ∵sinα＝，α∈，∴cosα＝＝，∴sin2α＝2sinαcosα＝2××＝，cos2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝.∴cos＝cos2α－sin2α＝×－×＝.2．(2022·宁德质检)将周期为π的函数f(x)＝sin＋cos(ω>0)的图象向右平移个单位长度后，所得的函数解析式为( )A．y＝2sinB．y＝2cos11\nC．y＝2sin2xD．y＝2cos答案 A解析 由题意得f(x)＝2sin＝2sin，因为函数的周期是π，所以＝π，所以ω＝2.所以f(x)＝2sin.将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得的函数解析式为y＝2sin＝2sin.11\n3.如图所示，某地一天6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b，则这段曲线的函数解析式可以为( )A．y＝10sin＋20，x∈[6,14]B．y＝10sin＋20，x∈[6,14]C．y＝10sin＋20，x∈[6,14]D．y＝10sin＋20，x∈[6,14]答案 A解析 由＝2(14－6)＝16，得ω＝，A＝(30－10)＝10，b＝20，由y＝10sin＋20过点(14,30)，得30＝10sin＋20，sin＝1，φ＋＝2kπ＋，k∈Z，φ＝2kπ－，k∈Z，取k＝1，得φ＝，所以y＝10sin＋20.4．(2022·漳州质检)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋1，满足f＝2－f(x)，且对任意x∈R，都有f(x)≥f .当ω取最小值时，函数f(x)的单调递减区间为( )A.，k∈ZB.，k∈ZC.，k∈ZD.，k∈Z11\n答案 A解析 由f ＝2－f(x)，得f ＋f(x)＝2，可得f(x)的图象关于点对称．∵对任意x∈R，f(x)≥f ，∴当x＝时，f(x)取得最小值，当ω取最小值时，即周期T最大，可得T＝－，可得T＝，∴ω＝＝6，函数f(x)＝2sin＋1，∵当x＝时，f(x)取得最小值，∴2sin＋1＝－1，sin＝－1，＋φ＝＋2kπ，k∈Z，φ＝2kπ，k∈Z，∵<，∴φ＝0，即函数f(x)＝2sin6x＋1，令2kπ＋≤6x≤2kπ＋，k∈Z，得＋≤x≤＋，k∈Z.∴函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z.5．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完美等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S＝，现有周长为10＋2的△ABC满足sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶，则用以上给出的公式求得△ABC的面积为( )A．6B．4C．8D．1211\n答案 A解析 因为sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶，所以由正弦定理得a∶b∶c＝2∶3∶，又因为△ABC的周长为10＋2，所以可得a＝4，b＝6，c＝2，所以△ABC的面积为S＝＝＝6，故选A.6．(2022·漳州质检)在△ABC中，C＝60°，BC＝2AC＝2，点D在边BC上，且sin∠BAD＝，则CD等于( )A.B.C.D.答案 D解析 ∵C＝60°，BC＝2AC＝2，∴AB＝＝＝3，∴cosB＝＝＝，又∵B是三角形的内角，∴B＝30°，∴∠BAC＝90°，∵sin∠BAD＝，∴cos∠BAD＝＝，11\n可得sin∠DAC＝cos∠BAD＝，∵在△ABD中，由正弦定理可得AD＝，在△ADC中，由正弦定理可得AD＝，∴＝，解得DC＝.7．(2022·河南省南阳市第一中学模拟)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)，若f ＝2，f(π)＝0，f(x)在上具有单调性，那么ω的取值共有( )A．6个B．7个C．8个D．9个答案 D解析 因为f ＝2，f(π)＝0，所以ω＋φ＝＋2kπ，πω＋φ＝mπ(k，m∈Z)，所以ω＝，m，k∈Z，因为f(x)在上具有单调性，所以≥－，所以T≥，所以≥，所以0<ω≤12，因此m－2k＝1,2,3,4,5,6,7,8,9，所以ω的取值共有9个．8．已知函数f(x)＝sinωx－cosωx(ω>0)，若方程f(x)＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为( )A.B.C.D.答案 B解析 f(x)＝2sin，作出f(x)的函数图象如图所示：11\n令2sin＝－1得，ωx－＝－＋2kπ，k∈Z或ωx－＝＋2kπ，k∈Z，∴x＝＋，k∈Z或x＝＋，k∈Z，设直线y＝－1与y＝f(x)在(0，＋∞)上从左到右的第4个交点为A，第5个交点为B，则xA＝＋，xB＝＋，∵方程f(x)＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，∴xA<π≤xB，即＋<π≤＋，解得<ω≤.9．(2022·山东)已知cosx＝，则cos2x＝________.答案 解析 cos2x＝2cos2x－1＝2×2－1＝.10．(2022·上饶模拟)如图所示的是函数y＝sin(ωx＋φ)在区间上的图象，将该函数图象各点的横坐标缩小到原来的一半(纵坐标不变)，再向右平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图象关于直线x＝对称，则m的最小值为________．答案 解析 由函数y＝sin(ωx＋φ)的图象可得T＝＝－＝π，∴ω＝2.11\n再由五点法作图可得2×＋φ＝0，∴φ＝.故函数f(x)的解析式为f(x)＝sin.故把f(x)＝sin的图象各点的横坐标缩小到原来的一半(纵坐标不变)，再向右平移m(m>0)个单位长度后，得到g(x)＝sin的图象，∵所得图象关于直线x＝对称，∴4×－4m＋＝＋kπ，k∈Z，解得m＝－kπ，k∈Z，∴由m>0，可得当k＝1时，m的最小值为.11．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知∠A＝，a＝7，b＝5，点D满足＝2，则c＝________；||＝________.答案 8 解析 如图，∠A＝，a＝7，b＝5.∴根据余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，即72＝52＋c2－2×5×c×，∴c＝8或c＝－3(舍去)，∴cosB＝＝＝.∵点D满足＝2，∴||＝a＝.在△ABD中，由余弦定理可得AD2＝BD2＋c2－2BD·c·cosB＝2＋64－2××8×＝.11\n∴AD＝，即||＝.12．(2022·湖南省岳阳市第一中学模拟)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若bc＝1，b＋2ccosA＝0，则当角B取得最大值时，三角形的内切圆的半径r＝________.答案 －解析 因为b＋2ccosA＝0，所以A∈，且sinB＋2sinCcosA＝0，即3sinCcosA＋cosCsinA＝0,3tanC＋tanA＝0.tanB＝－＝≤，当且仅当C＝时等号成立，故Bmax＝，所以B＝C，即b＝c＝1，a＝，此时r＝×1×1×，解得r＝－.13．(2022·湛江模拟)如图，游客从景点A下山至C有两种路径：一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟．在甲出发2分钟后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1分钟后，再从B匀速步行到C.已知缆车从A到B要8分钟，AC长为1260米，若cosA＝，sinB＝.为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，则乙步行的速度v(米/分钟)的取值范围是________．答案 解析 在△ABC中已知b＝1260，cosA＝，sinB＝，则sinA＝，11\n由正弦定理可得，a＝＝＝500，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA得5002＝12602＋c2－2×1260×c×，解得c1＝1040，c2＝，若c＝，与题图中AC最大矛盾，舍去，据此可得，c＝1040.乙从B出发时，甲已经走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710m才能到达C.设乙步行的速度为vm/min，由题意得－3≤－≤3，解得≤v≤，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在范围内．14．(2022·烟台模拟)如图，在△ABC中，AB＝，AC＝1，以BC为斜边构造等腰直角△BCD，则得到的平面四边形ABDC面积的最大值为________．答案 1＋解析 设∠BAC＝θ，在△ABC中，因为AB＝，AC＝1，所以其面积为S1＝××1·sinθ＝sinθ，在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosθ＝3＋1－2××1·cosθ＝4－2cosθ，所以在等腰直角△BCD中，其面积为S2＝BD·CD＝×BC×BC11\n＝BC2＝1－cosθ，所以四边形ABDC的面积为S＝S1＋S2＝sinθ＋1－cosθ＝1＋sin，所以当sin＝1时，S取得最大值1＋.11
