8＋6分项练1 集合与常用逻辑用语1．(2022·烟台适应性考试)已知全集U＝Z，A＝{0,1,2,3}，B＝{x|x2＝3x}，则A∩(∁UB)等于( )A．{1,3}B．{1,2}C．{0,3}D．{3}答案 B解析 由题意得B＝{x|x2＝3x}＝{0,3}，∴A∩(∁UB)＝{1,2}．2．(2022·南昌模拟)已知a，b为实数，则“ab>b2”是“a>b>0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析 由a>b>0，得ab>b2成立，反之：如a＝－2，b＝－1，满足ab>b2，则a>b>0不成立，所以“ab>b2”是“a>b>0”的必要不充分条件，故选B.3．(2022·湖南省岳阳市第一中学模拟)已知集合A＝，B＝{x|y＝ln(x－2x2)}，则∁R(A∩B)等于( )5\nA.B．(－∞，0)∪C．(－∞，0]∪D.答案 C解析 A＝[0，＋∞)，B＝，故A∩B＝，所以∁R(A∩B)＝(－∞，0]∪.4．下列命题中，假命题是( )A．∀x∈R，ex>0B．∃x0∈R,>xC．a＋b＝0的充要条件是＝－1D．a>1，b>1是ab>1的充分不必要条件答案 C解析 对于A，根据指数函数y＝ex的性质可知，ex>0总成立，故A正确；对于B，取x0＝1，则21>12，故B正确；对于C，若a＝b＝0，则无意义，故C错误，为假命题；对于D，根据不等式的性质可得当a>1，b>1时，必有ab>1，但反之不成立，故D正确．5．(2022·漳州质检)满足{2018}⊆A{2018,2019，2020}的集合A的个数为( )A．1B．2C．3D．4答案 C解析 由题意，得A＝{2018}或A＝{2018,2019}或A＝{2018，2020}．故选C.6．(2022·山西省榆社中学模拟)设集合A＝{x|x2－6x－7<0}，B＝{x|x≥a}，现有下面四个命题：p1：∃a∈R，A∩B＝∅；p2：若a＝0，则A∪B＝(－7，＋∞)；p3：若∁RB＝(－∞，2)，则a∈A；p4：若a≤－1，则A⊆B.其中所有的真命题为( )5\nA．p1，p4B．p1，p3，p4C．p2，p3D．p1，p2，p4答案 B解析 由题意可得A＝，则当a≥7时，A∩B＝∅，所以命题p1正确；当a＝0时，B＝[0，＋∞)，则A∪B＝(－1，＋∞)，所以命题p2错误；若∁RB＝，则a＝2∈A，所以命题p3正确；当a≤－1时，A⊆B成立，所以命题p4正确．7．(2022·衡水金卷调研卷)已知a>0，命题p：函数f(x)＝lg的值域为R，命题q：函数g(x)＝x＋在区间(1，＋∞)内单调递增．若(綈p)∧q是真命题，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，0]B.C.D.答案 D解析 由题意，函数f(x)＝lg的值域为R，a>0，故Δ＝4－12a≥0，解得a≤，故0<a≤，即p：0<a≤；若a>0，g(x)＝x＋在区间(1，＋∞)内单调递增，即g′(x)＝1－≥0在区间(1，＋∞)内恒成立，即a≤x2在区间(1，＋∞)内恒成立，解得0<a≤1，因为(綈p)∧q是真命题，所以p为假命题，q为真命题，即得<a≤1，故选D.8．(2022·河北衡水中学模拟)下面几个命题中，假命题是( )A．“若a≤b，则2a≤2b－1”的否命题B．“∀a∈(0，＋∞)，函数y＝ax在定义域内单调递增”的否定C．“π是函数y＝sinx的一个周期”或“2π是函数y＝sin2x的一个周期”D．“x2＋y2＝0”是“xy＝0”的必要条件答案 D解析 对于A，“若a≤b，则2a≤2b－1”的否命题是“若a>b，则2a>2b－1”，A是真命题；对于B，“∀a∈(0，＋∞)，函数y＝ax在定义域内单调递增”的否定为“∃a05\n∈(0，＋∞)，函数y＝a在定义域内不单调递增”．如当a＝时，函数y＝x在R上单调递减，B为真命题；对于C，因为“π是函数y＝sinx的一个周期”是假命题，“2π是函数y＝sin2x的一个周期”是真命题，所以C为真命题；对于D，“x2＋y2＝0”⇒“xy＝0”，反之不成立，因此“x2＋y2＝0”是“xy＝0”的充分不必要条件，D是假命题．9．(2022·昆明适应性检测)已知集合A＝，B＝，则A∩B＝________.答案 解析 B＝＝.将0,1,2分别代入集合A＝中的不等式，可得02－4×0－3≤0，化简得－3≤0，此不等式成立，故有0；12－4×1－3≤0，化简得－6≤0，此不等式成立，故有1，22－4×2－3≤0，化简得－7≤0，此不等式成立，故有2.10．(2022·内蒙古鄂伦春自治旗模拟)记不等式组表示的区域为Ω，点P的坐标为(x，y)．有下面四个命题：p1：∀P∈Ω，y≤0；p2：∀P∈Ω，x－y≥2；p3：∀P∈Ω，－6≤y≤；p4：∃P0∈Ω，x0－y0＝.其中的真命题是________．答案 p1，p2解析 根据不等式组画出可行域如图阴影部分(含边界)所示．由图可得，∀P∈Ω，y≤0，故p1正确，p3错误；令z＝x－y，即y＝x－z，由图可得，当直线y＝x－z经过点(4,0)时，直线在y轴上的截距最大，此时z最小，则zmin＝×4＝2，故p2正确，p4错误．5\n11．若命题“∃x0∈R，x－2x0＋m≤0”是假命题，则m的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析 因为命题“∃x0∈R，x－2x0＋m≤0”是假命题，所以∀x∈R，x2－2x＋m>0为真命题，即Δ＝4－4m<0，所以m>1.12．已知p：x≥a，q：x2－2x－3≥0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．答案 [3，＋∞)解析 由x2－2x－3≥0，得x≤－1或x≥3，若p是q的充分不必要条件，则，所以a≥3.13．(2022·上海普陀调研)设集合M＝，N＝，若N⊆M，则实数m的取值范围是________．答案 (－1,0)解析 ∵M＝＝(0，＋∞)，N⊆M，∴y＝(x－1)＋(x－2)在[1,2]上恒为正，设f(x)＝(x－1)＋(x－2)，则即得即－1<m<0，实数m的取值范围是(－1,0)．14．已知M是集合(k∈N*，k≥2)的非空子集，且当x∈M时，有2k－x∈M.记满足条件的集合M的个数为f(k)，则f(2)＝________；f(k)＝________.答案 3 2k－1解析 将1,2，…，2k－1分为k组，1和2k－1,2和2k－2，……，k－1和k＋1，k单独一组，每组中的两个数必须同时属于或同时不属于一个满足条件的集合M，每组属于或不属于M，共两种情况，所以M的可能性有2k，排除一个空集，则可能性为2k－1，即f(k)＝2k－1，f(2)＝3，故f(2)＝3，f(k)＝2k－1.5
