考点一 等比数列中的运算问题1．(2022·新课标全国Ⅱ，4)已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝( )A．21B．42C．63D．84解析 设等比数列{an}的公比为q，则由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21得3(1＋q2＋q4)＝21，解得q2＝－3(舍去)或q2＝2，于是a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42，故选B.答案 B2．(2022·重庆，2)对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是( )A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列解析 由等比数列的性质得，a3·a9＝a≠0，因此a3，a6，a9一定成等比数列，选D.答案 D3．(2022·江西，3)等比数列x，3x＋3，6x＋6，…的第四项等于( )A．－24B．0C．12D．24解析 由题可得(3x＋3)2＝x(6x＋6)，解得x＝－3或x＝－1(舍)，故第四项为－24.答案 A4．(2022·安徽，14)已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于________．解析 由等比数列性质知a2a3＝a1a4，又a2a3＝8，a1＋a4＝9，所以联立方程解得或又数列{an}为递增数列，∴a1＝1，a4＝8，从而a1q3＝8，∴q＝2.∴数列{an}的前n项和为Sn＝＝2n－1.答案 2n－15．(2022·江苏，7)在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是________．7\n解析 设等比数列{an}的公比为q，q>0.则a8＝a6＋2a4即为a4q4＝a4q2＋2a4，解得q2＝2(负值舍去)，又a2＝1，所以a6＝a2q4＝4.答案 46．(2022·浙江，13)设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则q＝________．解析 由S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2作差可得a3＋a4＝3a4－3a2，即2a4－a3－3a2＝0，所以2q2－q－3＝0，解得q＝或q＝－1(舍)．答案 7．(2022·新课标全国Ⅱ，17)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.(1)证明是等比数列，并求{an}的通项公式；(2)证明＋＋…＋<.证明 (1)由an＋1＝3an＋1得an＋1＋＝3又a1＋＝，所以是首项为，公比为3的等比数列．an＋＝，因此{an}的通项公式为an＝.(2)由(1)知＝.因为当n≥1时，3n－1≥2×3n－1，所以≤.于是＋＋…＋≤1＋＋…＋＝<.所以＋＋…＋<.8．(2022·陕西，17)设{an}是公比为q的等比数列．(1)推导{an}的前n项和公式；(2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．(1)解 设{an}的前n项和为Sn，7\n当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，∴Sn＝，∴Sn＝(2)证明 假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N＋，(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，a＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，aq2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk＋1＋a1qk＋1，∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1.∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，∴q＝1，这与已知矛盾，∴数列{an＋1}不是等比数列．考点二 等比数列的性质1．(2022·大纲全国，10)等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lgan}的前8项和等于( )A．6B．5C．4D．3解析 lga1＋lga2＋…＋lga8＝lg(a1·a2·…·a8)＝lg(a4·a5)4＝lg(2×5)4＝4，故选C.答案 C2．(2022·安徽，4)公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a10＝( )A．4B．5C．6D．7解析 由题意可设an＝a1×2n－1，且a1>0，∵a3a11＝16，∴a1＝，∴log2a10＝log2×29＝log225＝5，故选B.答案 B3．(2022·天津，11)设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和．若S1，7\nS2，S4成等比数列，则a1的值为________．解析 由已知得S1·S4＝S，即a1·(4a1－6)＝(2a1－1)2，解得a1＝－.答案 －4．(2022·广东，13)若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则lna1＋lna2＋…＋lna20＝________．解析 由等比数列的性质可知a10a11＋a9a12＝2e5⇒a1a20＝e5，于是a1a2…a20＝(e5)10＝e50，lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1a2…a20)＝lne50＝50.答案 505．(2022·湖南，14)设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则an＝________．解析 由3S1，2S2，S3成等差数列知，4S2＝3S1＋S3，可得a3＝3a2，∴公比q＝3，故等比数列通项an＝a1qn－1＝3n－1.答案 3n－16．(2022·北京，11)在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝－4，则公比q＝________；|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝________．解析 ∵q3＝＝－8，∴q＝－2，则an＝×(－2)n－1，∴|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝＋1＋2＋…＋2n－2＝＝2n－1－.答案 －2 2n－1－7．(2022·新课标全国，17)等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a＝9a2a6.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列的前n项和．解 (1)设数列{an}的公比为q.由a＝9a2a6，得a＝9a，所以q2＝.由条件可知q>0，故q＝.由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1，7\n所以a1＝.故数列{an}的通项公式为an＝.(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－，故＝－＝－2(－)，＋＋…＋＝－2＝－.所以数列的前n项和为－.考点三 等比数列的综合应用1．(2022·安徽，12)数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________．解析 法一 因为数列{an}是等差数列，所以a1＋1，a3＋3，a5＋5也成等差数列，又a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，所以a1＋1，a3＋3，a5＋5是常数列，故q＝1.法二 因为数列{an}是等差数列，所以可设a1＝t－d，a3＝t，a5＝t＋d，故由已知得(t＋3)2＝(t－d＋1)(t＋d＋5)，得d2＋4d＋4＝0，即d＝－2，所以a3＋3＝a1＋1，即q＝1.答案 12．(2022·湖南，15)设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝(－1)nan－，n∈N*，则：(1)a3＝________；(2)S1＋S2＋…＋S100＝________．解析 (1)∵Sn＝(－1)nan－.当n＝3时，a1＋a2＋a3＝－a3－，①当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝a4－，∴a1＋a2＋a3＝－，②7\n由①②知a3＝－.(2)∵Sn＝(－1)nan－①当n为奇数时，两式相减得an＋1＝an＋1＋an＋，∴an＝－；②当n为偶数时，两式相减得an＋1＝－an＋1－an＋，即an＝－2an＋1＋＝，故an＝∴Sn＝∴S1＋S2＋…＋S100＝－＝－＝－＝.答案 (1)－ (2)3．(2022·湖北，18)设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；7\n(2)当d>1时，记cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.解 (1)由题意有，即解得或故或(2)由d>1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，故cn＝，于是Tn＝1＋＋＋＋＋…＋，①Tn＝＋＋＋＋＋…＋.②①－②可得Tn＝2＋＋＋…＋－＝3－，故Tn＝6－.7
