第三节 等比数列及其前n项和A组 专项基础测试三年模拟精选选择题1.(2022·绵阳市一诊)设各项均为不为0的数列{an}满足an＋1＝an(n≥1)，若a2a4＝2a5，则a3＝( )A.B.2C.2D.4解析 由an＋1＝an(n≥1)知数列{an}是以为公比的等比数列，因为a2a4＝2a5，所以a1q·a1q3＝2a1q4⇒a1＝2，所以a3＝4.答案 D2.(2022·河南省焦作市高三统考)已知正项等比数列{an}满足a3·a2n－3＝4n(n＞1)，则log2a1＋log2a3＋log2a5＋…＋log2a2n－1＝( )A.n2B.(n＋1)2C.n(2n－1)D.(n－1)2解析 ∵a3·a2n－3＝4n，∴log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log2(a1a2…a2n－1)＝log2(a1a2n－1a3a2n－3…)＝log2(4n)＝n2.答案 A3.(2022·马鞍山模拟)已知{an}是首项为1的等比数列，若Sn是{an}的前n项和，且28S3＝S6，则数列{}的前4项和为( )A.或4B.或4C.D.解析 设数列{an}的公比为q.当q＝1时，由a1＝1，得28S3＝28×3＝84.当S6＝6，两者不相等，因此不合题意.当q≠1时，由28S3＝S6及首项为1，得＝.解得q＝3.所以数列{an}的通项公式为an＝3n－1.6\n所以数列{}的前4项和为1＋＋＋＝.答案 C4.(2022·潍坊模拟)设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于( )A.B.－C.D.解析 ∵a7＋a8＋a9＝S9－S6，S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，∴有8(S9－S6)＝1，即S9－S6＝.答案 A一年创新演练5.数列{an}中，已知对任意n∈N*，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，则a＋a＋a＋…＋a等于( )A.(3n－1)2B.(9n－1)C.9n－1D.(3n－1)解析 因为a1＋a2＋…＋an＝3n－1，所以a1＋a2＋…＋an－1＝3n－1－1(n≥2).当n≥2时，an＝2·3n－1.当n＝1时，a1＝3－1＝2，适合上式，所以an＝2·3n－1(n∈N*).则数列{a}是首项为4，公比为9的等比数列.∴a＋a＋…＋a＝＝(9n－1).故选B.答案 B6.已知两个等比数列{an}，{bn}满足a1＝a(a＞0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3，若数列{an}唯一，则a＝________.解析 设等比数列{an}的公比为q，则有b1＝a＋1，b2＝aq＋2，b3＝aq2＋3，(aq＋2)2＝(a＋1)·(aq2＋3)，即aq2－4aq＋3a－1＝0.因为数列{an}是唯一的，因此由方程aq2－4aq＋3a－1＝0解得的a，q的值是唯一的.若Δ＝0，则a2＋a＝0，又a＞0，因此这样的a不存在.故方程aq2－4aq＋3a－1＝0必有两个不同的实根，且其中一根为零，于是有3a－1＝0，a＝，此时q＝4，数列{an}是唯一的，因此满足题意的a＝.6\n答案 B组 专项提升测试三年模拟精选一、选择题7.(2022·山西省三诊)在等比数列{an}中，已知a1＝1，a4＝8.设S3n为该数列的前3n项和，Tn为数列{a}的前n项和.若S3n＝tTn，则实数t的值为( )A.7B.9C.12D.15解析 ∵q3＝＝8，q＝2，S3n＝，数列{a}仍为等比数列，公比为q3＝8，Tn＝，∴＝t，t＝7.答案 A二、填空题8.(2022·深圳模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，已知数列{Sn}是首项和公比都是3的等比数列，则数列{an}的通项公式an＝________.解析 由已知可得：Sn＝3n，当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－3n－1＝2·3n－1，当n＝1时，2·3n－1＝2.所以an＝ 答案 三、解答题9.(2022·湖南十二校联考)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*).(1)求证：数列{an＋1}是等比数列，并写出数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足4b1－1·4b2－1·4b3－1·…·4bn－1＝(an＋1)n，求数列{bn}的前n项和Sn.(1)证明 ∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，又a1＝1，∴a1＋1＝2≠0，an＋1≠0，∴＝2，∴数列{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列.∴an＋1＝2n，可得an＝2n－1.6\n(2)解 ∵4b1－1·4b2－1·4b3－1·…·4bn－1＝(an＋1)n，∴4b1＋b2＋b3＋…＋bn－n＝2n2，∴2(b1＋b2＋b3＋…＋bn)－2n＝n2，即2(b1＋b2＋b3＋…＋bn)＝n2＋2n，∴Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝n2＋n.10.(2022·广东重点中学联考)已知数列{an}是首项为a1＝，公比q＝的等比数列.设bn＋2＝3logan(n∈N＋)，数列{cn}满足cn＝an·bn.(1)求证：数列{bn}成等差数列；(2)求数列{cn}的前n项和Sn；(3)若cn≤m2＋m－1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围.(1)证明 由已知可得，an＝a1qn－1＝，bn＋2＝3log＝3n，∴bn＝3n－2.∵bn＋1－bn＝3，∴{bn}为等差数列，其中b1＝1，d＝3.(2)解 cn＝anbn＝(3n－2)·，Sn＝1·＋4·＋7·＋…＋(3n－2)·，①Sn＝1·＋4·＋7·＋…＋(3n－5)·＋(3n－2)·，②①－②得Sn＝＋3－(3n－2)·＝＋3·－(3n－2)·6\n＝－(3n＋2)·，∴Sn＝－·.(3)解 cn＝(3n－2)·，cn＋1－cn＝(3n＋1)·－(3n－2)·＝＝－9·(n－1).当n＝1时，cn＋1＝cn，当n≥2时，cn＋1≤cn，∴(cn)max＝c1＝c2＝.若cn≤m2＋m－1对一切正整数n恒成立，则m2＋m－1≥即可，∴m2＋4m－5≥0，即m≤－5或m≥1.一年创新演练11.已知数列{an}为等比数列，且a1a13＋2a＝4π，则tan(a2a12)的值为( )A.±B.－C.D.－解析 ∵a1a13＝a，a2a12＝a，∴a＝，∴tan(a2a12)＝tan＝tan＝，故选C.答案 C12.已知函数f(x)＝x2－ax＋a(x∈R)同时满足：①函数f(x)有且只有一个零点；②在定义域内存在0＜x1＜x2，使得不等式f(x1)＞f(x2)成立.设数列{an}的前n项和Sn＝f(n)(n∈N*).(1)求函数f(x)的表达式；(2)求数列{an}的通项公式；(3)在各项均不为零的数列{cn}中，所有满足ci·ci＋1＜0的整数的个数称为数列{cn}6\n的变号数.令cn＝1－，求数列{cn}的变号数.解 (1)∵f(x)有且只有一个零点，∴Δ＝a2－4a＝0，解得a＝0或a＝4.当a＝4时，函数f(x)＝x2－4x＋4在(0，2)上递减，故存在0＜x1＜x2，使得不等式f(x1)＞f(x2)成立；当a＝0时，函数f(x)＝x2在(0，＋∞)上递增，故不存在0＜x1＜x2，使得不等式f(x1)＞f(x2)成立.综上，得a＝4，f(x)＝x2－4x＋4.(2)由(1)可知Sn＝n2－4n＋4，当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－4n＋4)－[(n－1)2－4(n－1)＋4]＝2n－5，∴an＝ (3)由题设得cn＝ ∵n≥3时，cn＋1－cn＝－＝＞0，∴n≥3时，数列{cn}递增.∵c4＝－＜0，由1－＞0⇒n≥5，可知c4·c5＜0，即n≥3时，有且只有1个变号数.又c1＝－3，c2＝5，c3＝－3，即c1·c2＜0，c2·c3＜0，∴此处变号数有2个.综上，数列{cn}的变号数为3.6
