第三节 等比数列及其前n项和考点一 等比数列的概念及性质1.(2022·新课标全国Ⅱ，9)已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝( )A.2B.1C.D.解析 由{an}为等比数列，得a3a5＝a，所以a＝4(a4－1)，解得a4＝2，设等比数列{an}的公比为q，则a4＝a1q3，得2＝q3，解得q＝2，所以a2＝a1q＝.选C.答案 C2.(2022·安徽，5)公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5等于( )A.1B.2C.4D.8解析 由题意可得，a3·a11＝a＝16，∴a7＝4.∴a5＝＝＝1.答案 A3.(2022·北京，6)已知{an}为等比数列.下面结论中正确的是( )A.a1＋a3≥2a2B.a＋a≥2aC.若a1＝a3，则a1＝a2D.若a3＞a1，则a4＞a2解析 由等比数列性质，得a＋a≥2a1a3＝2a，故选B.答案 B4.(2022·广东，13)若三个正数a，b，c成等比数列，其中a＝5＋2，c＝5－2，则b＝________.解析 ∵三个正数a，b，c成等比数列，∴b2＝ac＝(5＋2)(5－2)＝1.∵b为正数，∴b＝1.答案 15.(2022·广东，13)等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________.解析 由等比数列的性质可知a1a5＝a2a4＝a，于是，由a1a5＝4得a3＝2，故a1a2a3a4a5＝32，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝log2(a1a2a3a4a5)＝log232＝5.答案 59\n6.(2022·北京，11)若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________；前n项和Sn＝________.解析 根据等比数列的性质知a3＋a5＝q(a2＋a4)，∴q＝2，又a2＋a4＝a1q＋a1q3，故求得a1＝2，∴Sn＝＝2n＋1－2.答案 2 2n＋1－27.(2022·广东，12)若等比数列{an}满足a2a4＝，则a1aa5＝________.解析 在等比数列中，a2a4＝a1a5＝a＝，∴a1aa5＝a＝.答案 8.(2022·课标全国，14)等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋3S2＝0，则公比q＝________.解析 由＋3·＝0，得1＋q2＋q＋3(1＋q)＝0，即q2＋4q＋4＝0，(q＋2)2＝0，所以q＝－2，故填－2.答案 －29.(2022·四川，16)设数列{an}(n＝1，2，3，…)的前n项和Sn满足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列的前n项和为Tn，求Tn.解 (1)由已知Sn＝2an－a1，有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)，从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1，又因为a1，a2＋1，a3成等差数列，即a1＋a3＝2(a2＋1)，所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2，所以，数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，故an＝2n.(2)由(1)得＝，9\n所以Tn＝＋＋…＋＝＝1－.10.(2022·北京，15)已知{an}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}为等比数列.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)求数列{bn}的前n项和.解 (1)设等差数列{an}的公差为d，由题意得d＝＝＝3.所以an＝a1＋(n－1)d＝3n(n＝1，2，…).设等比数列{bn－an}的公比为q，由题意得q3＝＝＝8，解得q＝2.所以bn－an＝(b1－a1)qn－1＝2n－1.从而bn＝3n＋2n－1(n＝1，2，…).(2)由(1)知bn＝3n＋2n－1(n＝1，2，…).数列{3n}的前n项和为n(n＋1)，数列{2n－1}的前n项和为1×＝2n－1.所以，数列{bn}的前n项和为n(n＋1)＋2n－1.11.(2022·福建，17)在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81.(1)求an；(2)设bn＝log3an，求数列{bn}的前n项和Sn.解 (1)设{an}的公比为q，依题意得解得因此，an＝3n－1.(2)因为bn＝log3an＝n－1，所以数列{bn}的前n项和Sn＝＝.12.(2022·天津，19)已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且－2S2，S3，4S4成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式；9\n(2)证明Sn＋≤(n∈N*).(1)解 设等比数列{an}的公比为q，因为－2S2，S3，4S4成等差数列，所以S3＋2S2＝4S4－S3，即S4－S3＝S2－S4，可得2a4＝－a3，于是q＝＝－.又a1＝，所以等比数列{an}的通项公式为an＝×(－)n－1＝(－1)n－1·.(2)证明 Sn＝1－，Sn＋＝1－＋＝当n为奇数时，Sn＋随n的增大而减小，所以Sn＋≤S1＋＝.当n为偶数时，Sn＋随n的增大而减小，所以Sn＋≤S2＋＝.故对于n∈N*，有Sn＋≤.13.(2022·湖南，19)设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1≠0，2an－a1＝S1·Sn，n∈N*.(1)求a1，a2，并求数列{an}的通项公式；(2)求数列{nan}的前n项和.解 (1)令n＝1，得2a1－a1＝a，即a1＝a，因为a1≠0，所以a1＝1.令n＝2，得2a2－1＝S2＝1＋a2.解得a2＝2.当n≥2时，2an－1＝Sn，2an－1－1＝Sn－1，9\n两式相减，得2an－2an－1＝an，即an＝2an－1.于是数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列.因此an＝2n－1.所以数列{an}的通项公式an＝2n－1.(2)由(1)知，nan＝n·2n－1.记数列{n·2n－1}的前n项和为Bn，于是Bn＝1＋2×2＋3×22＋…＋n×2n－1，①2Bn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n.②①－②，得－Bn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n.从而Bn＝1＋(n－1)·2n.14.(2022·重庆，16)已知{an}为等差数列，且a1＋a3＝8，a2＋a4＝12.(1)求{an}的通项公式；(2)记{an}的前n项和为Sn，若a1，ak，Sk＋2成等比数列，求正整数k的值.解 (1)设数列{an}的公差为d，由题意知解得a1＝2，d＝2，所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n.(2)由(1)可得Sn＝＝＝n(n＋1).因为a1，ak，Sk＋2成等比数列，所以a＝a1Sk＋2.从而(2k)2＝2(k＋2)(k＋3)，即k2－5k－6＝0.解得k＝6或k＝－1(舍去).因此k＝6.考点二 等比数列的前n项和1.(2022·新课标全国Ⅰ，13)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和.若Sn＝126，则n＝________.解析 由an＋1＝2an知，数列{an}是以a1＝2为首项，公比q＝2的等比数列，由Sn＝9\n＝126，解得n＝6.答案 62.(2022·大纲全国，8)设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6＝( )A.31B.32C.63D.64解析 法一 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q.若q＝1，则有Sn＝na1，显然不符合题意，故q≠1.由已知可得两式相除得1＋q2＝5，解得q2＝4.故q＝2或q＝－2.若q＝2，代入解得a1＝1，此时S6＝＝＝63.若q＝－2，代入解得a1＝－3，此时S6＝＝＝63.故选C.法二 因为数列{an}为等比数列，若q＝1，则有Sn＝na1，显然不符合题意，故q≠1.设其前n项和为Sn＝Aqn－A.由题意可得，两式相除得1＋q2＝5，解得q2＝4.代入解得A＝1.故Sn＝qn－1.所以S6＝q6－1＝(q2)3－1＝43－1＝63，故选C.法三 设等比数列的公比为q.则S2＝a1＋a2＝3，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝(1＋q2)(a1＋a2)＝(1＋q2)×3＝15，解得q2＝4.故S6＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝(1＋q2＋q4)(a1＋a2)＝(1＋4＋42)×3＝63.故选C.答案 C3.(2022·新课标全国Ⅰ，6)设首项为1，公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn，则( )A.Sn＝2an－1B.Sn＝3an－2C.Sn＝4－3anD.Sn＝3－2an解析 Sn＝＝＝＝3－2an，故选D.9\n答案 D4.(2022·大纲全国，7)已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－，则{an}的前10项和等于( )A.－6(1－3－10)B.(1－310)C.3(1－3－10)D.3(1＋3－10)解析 ∵3an＋1＋an＝0⇒an＋1＝－an，∴{an}是以－为公比的等比数列.又∵a2＝－，∴a1＝4.∴S10＝＝3(1－3－10).故选C.答案 C5.(2022·广东，11)设数列{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，则a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝________.解析 由数列{an}首项为1，公比q＝－2，则an＝(－2)n－1，a1＝1，a2＝－2，a3＝4，a4＝－8，则a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝1＋2＋4＋8＝15.答案 156.(2022·辽宁，14)已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和.若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝________.解析 x2－5x＋4＝0的两根为1和4，又数列递增，所以a1＝1，a3＝4，q＝2.所以S6＝＝63.答案 637.(2022·江西，12)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________.解析 由题意知每天植树的棵数组成一个以2为首项，2为公比的等比数列，所以Sn＝＝2(－1＋2n)≥100，∴2n≥51，∴n≥6.答案 68.(2022·重庆，11)首项为1，公比为2的等比数列的前4项和S4＝________.9\n解析 由等比数列的前n项和公式S4＝＝15.答案 159.(2022·北京，12)在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝4，则公比q＝________；a1＋a2＋…＋an＝________.解析 由等比数列通项公式，得a4＝a1q3，∴4＝q3，q3＝8，∴q＝2.Sn＝a1＋a2＋…＋an＝＝＝2n－1－.答案 2 2n－1－10.(2022·四川，16)在等比数列{an}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项、公比及前n项和.解 设该数列的公比为q，由已知可得a1q－a1＝2，得a1(q－1)＝2.由4a1q＝3a1＋a1q2得q2－4q＋3＝0，解得q＝3或q＝1.由于a1(q－1)＝2，因此q＝1不合题意，应舍去.故公比q＝3，首项a1＝1.∴数列的前n项和Sn＝.11.(2022·湖北，19)已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2＋a3＋a4＝－18.(1)求数列{an}的通项公式；(2)是否存在正整数n，使得Sn≥2022？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由.解 (1)设数列{an}的公比为q，则a1≠0，q≠0，由题意得即解得9\n故数列{an}的通项公式为an＝3(－2)n－1.(2)由(1)有Sn＝＝1－(－2)n.若存在n，使得Sn≥2013，则1－(－2)n≥2013，即(－2)n≤－2012，当n为偶数时，(－2)n＞0，上式不成立；当n为奇数时，(－2)n＝－2n≤－2012，即2n≥2012，则n≥11.综上，存在符合条件的正整数n，且所有这样的n的集合为{n|n＝2k＋1，k∈N，k≥5}.9
