第一节数列的概念及简单表示法考点数列的概念及表示方法1．(2022·辽宁，4)下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题：p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；anp3：数列{}是递增数列；np4：数列{an＋3nd}是递增数列．其中的真命题为()A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p4解析如数列为{－2，－1，0，1，…}，则1×a1＝2×a2，故p2是假命题；如数列为{1，an2，3，…}，则＝1，故p3是假命题．故选D.n答案D2．(2022·浙江，7)设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题错误的是()A．若d<0，则数列{Sn}有最大项B．若数列{Sn}有最大项，则d<0*C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N，均有Sn>0*D．若对任意n∈N，均有Sn>0，则数列{Sn}是递增数列d1d2a1－解析因Sn＝na1＋n(n－1)d＝n＋2n，所以Sn是关于n的二次函数，当d<0时，22*Sn有最大值，即数列{Sn}有最大项，故A命题正确．若{Sn}有最大项，即对于n∈N，Sn有最大值，故二次函数图象的开口要向下，即d<0，故B命题正确．而若a1<0，d>0，则*数列{Sn}为递增数列，此时S1<0，故C命题错误．若对于任意的n∈N，均有Sn>0，则a1dd*d＝S1>0，且n＋a1－>0对于n∈N恒成立，∴>0，即命题D正确，故选C.222答案C1\n3．(2022·江西，5)已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，那么a10＝()A．1B．9C．10D．55解析∵a10＝S10－S9，又∵Sn＋Sm＝Sn＋m，∴S10＝S1＋S9，∴a10＝(S1＋S9)－S9＝S1＝a1＝1.故选A.答案A1*4．(2022·江苏，11)设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N)，则数列an前10项的和为________．解析∵a1＝1，an＋1－an＝n＋1，∴a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，将以上n－1（2＋n）（n－1）n（n＋1）1个式子相加得an－a1＝2＋3＋…＋n＝，即an＝，令bn＝，22an112－故bn＝＝2nn＋1，故S10＝b1＋b2＋…＋b10n（n＋1）111111－＋－＋…＋－20＝22231011＝.1120答案11215．(2022·新课标全国Ⅰ，14)若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是an33＝________．21解析∵Sn＝an＋，①3321∴当n≥2时，Sn－1＝an－1＋.②3322①－②，得an＝an－an－1，33an即＝－2.an－121∵a1＝S1＝a1＋，∴a1＝1.33n－1∴{an}是以1为首项，－2为公比的等比数列，an＝(－2).n－1答案(－2)*2n＋26．(2022·安徽，18)设n∈N，xn是曲线y＝x＋1在点(1，2)处的切线与x轴交点的横坐标．2\n(1)求数列{xn}的通项公式；2221(2)记Tn＝x1x3…x2n－1，证明Tn≥.4n2n＋22n＋12n＋2(1)解y′＝(x＋1)′＝(2n＋2)x，曲线y＝x＋1在点(1，2)处的切线斜率为2n＋2，从而切线方程为y－2＝(2n＋2)(x－1)．1n令y＝0，解得切线与x轴交点的横坐标xn＝1－＝.n＋1n＋1(2)证明由题设和(1)中的计算结果知12322n－12222Tn＝x1x3…x2n－1＝24…2n.1当n＝1时，T1＝.42n－12222（2n－1）（2n－1）－12n－2n－1当n≥2时，因为x2n－1＝2n＝>＝＝.22（2n）（2n）2nn1212n－11所以Tn>2×××…×＝.23n4n*1综上可得对任意的n∈N，均有Tn≥.4n2*7．(2022·广东，19)设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2nan＋1－3n－4n，n∈N，且S3＝15.(1)求a1，a2，a3的值；(2)求数列{an}的通项公式．S1＝a1＝2a2－3－4，解(1)依题有S2＝a1＋a2＝4a3－12－8，S3＝a1＋a2＋a3＝15，解得a1＝3，a2＝5，a3＝7.2(2)∵Sn＝2nan＋1－3n－4n，①2∴当n≥2时，Sn－1＝2(n－1)an－3(n－1)－4(n－1)．②（2n－1）an＋6n＋1①－②并整理得an＋1＝.2n由(1)猜想an＝2n＋1，下面用数学归纳法证明．当n＝1时，a1＝2＋1＝3，命题成立；假设当n＝k时，ak＝2k＋1命题成立．3\n则当n＝k＋1时，（2k－1）ak＋6k＋1（2k－1）（2k＋1）＋6k＋1ak＋1＝＝2k2k＝2k＋3＝2(k＋1)＋1，即当n＝k＋1时，结论成立．*综上，∀n∈N，an＝2n＋1.2Sn122*8．(2022·广东，19)设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝1，＝an＋1－n－n－，n∈N.n33(1)求a2的值；(2)求数列{an}的通项公式；1117(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋<.a1a2an412(1)解依题意，2S1＝a2－－1－，33又S1＝a1＝1，所以a2＝4.1322(2)解由题意2Sn＝nan＋1－n－n－n，331322当n≥2时，2Sn－1＝(n－1)an－(n－1)－(n－1)－(n－1)，33122两式相减得2an＝nan＋1－(n－1)an－(3n－3n＋1)－(2n－1)－，33整理得(n＋1)an＝nan＋1－n(n＋1)，an＋1ana2a1即－＝1.又－＝1，n＋1n21ana1故数列{}是首项为＝1，公差为1的等差数列，n1an所以＝1＋(n－1)×1＝n.n2所以an＝n.17(3)证明当n＝1时，＝1<；a1411157当n＝2时，＋＝1＋＝<；a1a244411111当n≥3时，＝<＝－，2ann（n－1）nn－1n111此时＋＋…＋a1a2an1111＝1＋＋＋＋…＋222434n4\n1111111－－－<1＋＋23＋34＋…＋n－1n4111717＝1＋＋－＝－<.42n4n41117综上，对一切正整数n，有＋＋…＋<.a1a2an45
