A组 专项基础测试三年模拟精选一、选择题1．(2022·玉溪一中模拟)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝则其前6项之和是( )A．16B．20C．33D．120解析 a2＝2a1＝2，a3＝a2＋1＝3，a4＝2a3＝6，a5＝a4＋1＝7，a6＝2a5＝14，∴S6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33.答案 C2．(2022·天津南开中学月考)下列可作为数列{an}：1，2，1，2，1，2，…的通项公式的是( )A．an＝1B．an＝C．an＝2－|sin|D．an＝解析 A项显然不成立；n＝1时，a1＝＝0，故B项不正确；n＝2时，a2＝＝1，故D项不正确．由an＝2－|sin|可得a1＝1，a2＝2，a3＝1，a4＝2，…，故选C.答案 C3．(2022·济南外国语学校模拟)数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6等于( )A．44B．3×44＋1C．3×44D．44＋1解析 由an＋1＝3Sn(n≥1)得an＋2＝3Sn＋1，两式相减得an＋2－an＋1＝3an＋1，∴an＋2＝4an＋1，即＝4，a2＝3S1＝3，∴a6＝a244＝3×44.6\n答案 C4．(2022·北大附中模拟)在数列{an}中，已知a1＝2，a2＝7，an＋2等于anan＋1(n∈N*)的个位数，则a2013的值是( )A．8B．6C．4D．2解析 a1a2＝2×7＝14，∴a3＝4，4×7＝28，∴a4＝8，4×8＝32，∴a5＝2，2×8＝16，∴a6＝6，a7＝2，a8＝2，a9＝4，a10＝8，a11＝2，∴从第三项起，an的值成周期排列，周期数为6，2013＝335×6＋3，∴a2013＝a3＝4.答案 C5．(2022·潍坊模拟)已知an＝，把数列{an}的各项排列成如下的三角形状，记A(m，n)表示第m行的第n个数，则A(10，12)＝( )a1a2 a3 a4a5 a6 a7 a8 a9…A.B.C.D.解析 前9行共有1＋3＋5＋…＋17＝＝81(项)，∴A(10，12)为数列中的第81＋12＝93(项)，∴a93＝.答案 A二、填空题6．(2022·山东聊城二模)如图所示是一个类似杨辉三角的数阵，则第n(n≥2)行的第2个数为________．13 35 6 57 11 11 79 18 22 18 9……解析 每行的第2个数构成一个数列{an}，由题意知a2＝3，a3＝6，a4＝11，a5＝18，6\n所以a3－a2＝3，a4－a3＝5，a5－a4＝7，…，an－an－1＝2(n－1)－1＝2n－3，由累加法得an－a2＝＝n2－2n，所以an＝n2－2n＋a2＝n2－2n＋3(n≥2)．答案 n2－2n＋3一年创新演练7．数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝，且对任意正整数m，n，都有am＋n＝aman，若Sn<t恒成立，则实数t的最小值为________．解析 令m＝1，则＝a1，∴{an}是以a1为首项，为公比的等比数列．∴an＝.∴Sn＝＝＝－<.由Sn<t恒成立，∴t>Sn的最大值，可知t＝.答案 8．我们可以利用数列{an}的递推公式an＝(n∈N*)，求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数，则a24＋a25＝________；研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第________项．解析 a24＋a25＝a12＋25＝a6＋25＝a3＋25＝3＋25＝28.5＝a5＝a10＝a20＝a40＝a80＝a160＝a320＝a640.答案 28 640B组 专项提升测试三年模拟精选一、选择题9．(2022·广东佛山一模)数列{an}满足a1＝1，a2＝1，an＋2＝an＋4cos2，则a9，a10的大小关系为( )6\nA．a9>a10B．a9＝a10C．a9<a10D．大小关系不确定解析 n为奇数时，a3＝2a1＝2，a5＝2a3＝22，a7＝2a5＝23，a9＝2a7＝24；n为偶数时，a4＝a2＋4＝5，a6＝a4＋4＝9，a8＝a6＋4＝13，a10＝a8＋4＝17.所以a9<a10.故选C.答案 C二、填空题10．(2022·合肥模拟)数列{an}满足an＋1＝a1＝，则数列的第2013项为________．解析 ∵a1＝，∴a2＝2a1－1＝.∴a3＝2a2＝.∴a4＝2a3＝，a5＝2a4－1＝，a6＝2a5－1＝，…，∴该数列的周期T＝4.∴a2013＝a1＝.答案 11．(2022·温州质检)已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋2)·，则当an取得最大值时，n等于________．解析 由题意知∴解得∴n＝5或6.答案 5或612．(2022·天津新华中学模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝2an－1，则满足≤2的正整数n的集合为________．解析 因为Sn＝2an－1，6\n所以当n≥2时，Sn－1＝2an－1－1，两式相减得an＝2an－2an－1，整理得an＝2an－1，所以{an}是公比为2的等比数列．又因为a1＝2a1－1，所以a1＝1，故an＝2n－1，而≤2，即2n－1≤2n，所以有n∈{1，2，3，4}．答案 {1，2，3，4}13．(2022·江苏期末调研)对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的差数列．若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________．解析 由已知an＋1－an＝2n，a1＝2得a2－a1＝2，a3－a2＝22，…，an－an－1＝2n－1，由累加法得an＝2＋2＋22＋…＋2n－1＝2n，从而Sn＝＝2n＋1－2.答案 2n＋1－2三、解答题14．(2022·青岛一中模拟)在数列{an}中，a1＝1，a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝an＋1(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项an；(2)若存在n∈N*，使得an≤(n＋1)λ成立，求实数λ的最小值．解 (1)当n≥2时，由题可得a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝an.①a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝an＋1，②②－①得nan＝an＋1－an，即(n＋1)an＋1＝3nan，＝3，∴{nan}是以2a2＝2为首项，3为公比的等比数列(n≥2)，∴nan＝2·3n－2，∴an＝·3n－2(n≥2)，∵a1＝1，∴an＝6\n(2)an≤(n＋1)λ⇔λ≥，由(1)可知当n≥2时，＝，设f(n)＝(n≥2，n∈N*)，＝·，则f(n＋1)－f(n)＝<0，∴>(n≥2)，又·＝及＝，∴所求实数λ的最小值为.一年创新演练15．已知数列{an}中，an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)．(1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围．解 (1)∵an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)，又∵a＝－7，∴an＝1＋.结合函数f(x)＝1＋的单调性，可知1>a1>a2>a3>a4，a5>a6>a7>…>an>1(n∈N*)．∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0.(2)an＝1＋＝1＋.∵对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，结合函数f(x)＝1＋的单调性，∴5<<6，∴－10<a<－8.6
