第一节 数列的概念及简单的表示方法考点 数列的概念及表示1.(2022·辽宁，4)下面是关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题：p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列{}是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列.其中的真命题为( )A.p1，p2B.p3，p4C.p2，p3D.p1，p4解析 如数列－2，－1，0，1，2，…，则1×a1＝2×a2，排除p2，如数列1，2，3，…，则＝1，排除p3，故选D.答案 D2.(2022·大纲全国，6)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝( )A.2n－1B.C.D.解析 ∵a1＝1，Sn＝2an＋1，∴a2＝.∴Sn－1＝2an.两式作差则得到＝(n≥2).∴an＝∴Sn＝1＋＝.答案 B3.(2022·四川，9)数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6等于( )A.3×44B.3×44＋14\nC.45D.45＋1解析 当n≥1时，an＋1＝3Sn，则an＋2＝3Sn＋1，∴an＋2－an＋1＝3Sn＋1－3Sn＝3an＋1，即an＋2＝4an＋1，∴该数列从第2项开始是以4为公比的等比数列，又a2＝3S1＝3a1＝3，∴an＝ ∴当n＝6时，a6＝3×46－2＝3×44.答案 A4.(2022·新课标全国Ⅱ，16)数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝________.解析 将a8＝2代入an＋1＝，可求得a7＝；再将a7＝代入an＋1＝，可求得a6＝－1；再将a6＝－1代入an＋1＝，可求得a5＝2；由此可以推出数列{an}是一个周期数列，且周期为3，所以a1＝a7＝.答案 5.(2022·浙江，17)若数列{n(n＋4)}中的最大项是第k项，则k＝________.解析 由题意，得解得又k∈N*，所以k＝4.故填4.答案 46.(2022·江西，17)已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明：对任意的n＞1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列.4\n(1)解 由Sn＝，得a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－2，所以数列{an}的通项公式为：an＝3n－2.(2)证明 要使得a1，an，am成等比数列，只需要a＝a1·am，即(3n－2)2＝1·(3m－2)，即m＝3n2－4n＋2，而此时m∈N*，且m＞n.所以对任意的n＞1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列.7.(2022·湖南，16)已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和.解 (1)当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n.故数列{an}的通项公式为an＝n.(2)由(1)知，bn＝2n＋(－1)nn.记数列{bn}的前2n项和为T2n，则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n).记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，则A＝＝22n＋1－2，B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.8.(2022·江西，16)正项数列{an}满足：a－(2n－1)an－2n＝0.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)令bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.解 (1)由a－(2n－1)an－2n＝0，得(an－2n)(an＋1)＝0.由于{an}是正项数列，所以an＝2n.4\n(2)由an＝2n，bn＝，则bn＝＝，Tn＝＝＝.9.(2022·四川，20)已知数列{an}的前n项和为Sn，常数λ＞0，且λa1an＝S1＋Sn对一切正整数n都成立.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设a1＞0，λ＝100.当n为何值时，数列{lg}的前n项和最大？解 (1)取n＝1，得λa＝2S1＝2a1，a1(λa1－2)＝0.若a1＝0，则Sn＝0.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝0－0＝0，所以an＝0(n≥1).若a1≠0，则a1＝.当n≥2时，2an＝＋Sn，2an－1＝＋Sn－1，两式相减得2an－2an－1＝an，所以an＝2an－1(n≥2)，从而数列{an}是等比数列，所以an＝a1·2n－1＝·2n－1＝.综上，当a1＝0时，an＝0；当a1≠0时，an＝.(2)当a1＞0且λ＝100时，令bn＝lg，由(1)有，bn＝lg＝2－nlg2.所以数列{bn}是单调递减的等差数列(公差为－lg2).b1＞b2＞…＞b6＝lg＝lg＞lg1＝0，当n≥7时，bn≤b7＝lg＝lg＜lg1＝0，故数列{lg}的前6项的和最大.4
