第一节 数列的概念及简单的表示方法A组 专项基础测试三年模拟精选一、选择题1.(2022·杭州七校联考)已知数列{an}满足an＋2＝an＋1＋an，若a1＝1，a5＝8，则a3＝( )A.1B.2C.3D.解析 a3＝a2＋a1＝a2＋1，a4＝a3＋a2＝2a2＋1，a5＝a4＋a3＝2a2＋1＋a2＋1＝3a2＋2，故a2＝2，因此a3＝a2＋a1＝3.答案 C2.(2022·郑州市一测)已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a1a2a3＝10，且＝，则a2＝( )A.2B.3C.4D.5解析 依题意得＝，a1a3＝5，a2＝＝2.答案 A3.(2022·四川广安诊断)设数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝1－，记数列{an}的前n项之积为πn，则π2011的值为( )A.－B.－1C.D.2解析 由a2＝，a3＝－1，a4＝2可知，数列{an}是周期为3的周期数列，从而π2011＝2×(－1)670＝2.答案 D5\n4.(2022·大连模拟)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an＝( )A.2＋lnnB.2＋(n－1)lnnC.2＋nlnnD.1＋n＋lnn解析 由已知得an＋1－an＝ln(n＋1)－lnn，所以a2－a1＝ln2－ln1，a3－a2＝ln3－ln2，a4－a3＝ln4－ln3，…，an－an－1＝lnn－ln(n－1)，以上(n－1)个式子左右分别相加，得an－a1＝lnn，所以an＝2＋lnn.故选A.答案 A二、填空题5.(2022·吉林重点中学联考)已知数列{an}满足a1＝1，且an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则a2＝________，an＝________.解析 由an＝n(an＋1－an)，可得＝，则an＝···…··a1＝×××…××1＝n，∴a2＝2，an＝n.答案 2 n6.(2022·广东佛山调研)若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n＝1，2，3，…)，则此数列的通项公式为an＝________；数列{nan}中数值最小的项是第________项.解析 当n≥2时，Sn－Sn－1＝2n－11，n＝1时也符合，则an＝2n－11，∴nan＝2n2－11n＝2－，且n∈N*，故n＝3时，nan最小.答案 2n－11 3一年创新演练7.若数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋1，则向量m＝(a1，a4)的模为( )A.53B.50C.D.5解析 依题意得，a1＝S1＝2，a4＝S4－S3＝(42＋1)－(32＋1)＝7，故m＝(2，7)，|m|＝＝，故选C.答案 C8.已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，且an，an＋1是函数f(x)＝x2－bnx＋2n的两个零点，则b10＝________.解析 ∵an＋an＋1＝bn，an·an＋1＝2n，5\n∴an＋1·an＋2＝2n＋1，∴an＋2＝2an.又∵a1＝1，a1·a2＝2，∴a2＝2，∴a2n＝2n，a2n－1＝2n－1(n∈N*)，∴b10＝a10＋a11＝64.答案 64B组 专项提升测试三年模拟精选一、选择题9．(2022·河北五市一中监测)等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a2＝10，S4＝36，则过点P(n，an)和Q(n＋2，an＋2)(n∈N*)的直线的一个方向向量是( )A.B．(－1，－1)C.D.解析 设等差数列{an}的公差为d，则由题设得：解得：所以an＝4n－1，＝(n＋2－n，an＋2－an)＝(2，8)＝－4×，所以过点P(n，an)和Q(n＋2，an＋2)(n∈N*)的直线的一个方向向量是，故选A.答案 A10．(2022·泰安市检测)在各项均不为零的等差数列{an}中，若an＋1－a＋an－1＝0(n≥2)，则S2n－1－4n等于( )A.－2B.0C.1D.2解析 ∵{an}为等差数列，∴an＋1＋an－1＝2an，又∵an＋1＋an－1＝a，∴a＝2an，∵an≠0，∴an＝2，故S2n－1－4n＝(2n－1)·2－4n＝－2.答案 A二、填空题11.(2022·河南南阳三模)已知数列{an}满足a1＝1，且an＝an－1＋(n≥2且n∈N*)，则数列{an}中项的最大值为________.5\n解析 an＝an－1＋⇒3nan＝3n－1·an－1＋1⇒3nan－3n－1an－1＝1⇒{3nan}是公差为1的等差数列，∴3nan＝3a1＋n－1＝n＋2⇒an＝(n＋2)，设an＋1－an＝(n＋3)－(n＋2)·＝(n＋3－3n－6)＜0，∴数列{an}单调递减，∴最大值的项为a1＝1.答案 1三、解答题12.(2022·吉林一中月考)根据下列条件，确定数列{an}的通项公式：(1)a1＝1，an＋1＝3an＋2；(2)a1＝1，an＝an－1(n≥2)；(3)已知数列{an}满足an＋1＝an＋3n＋2，且a1＝2，求an.解 (1)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，∴＝3，∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1.(2)∵an＝an－1(n≥2)，∴an－1＝an－2，…，a2＝a1.以上(n－1)个式子相乘得an＝a1···…·＝＝.(3)∵an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1(n≥2)，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(n≥2).当n＝1时，a1＝×(3×1＋1)＝2符合公式，∴an＝n2＋.一年创新演练13.已知函数y＝anx2(an≠0，n∈N*)的图象在x＝1处的切线斜率为2an－1＋1(n≥2，n∈N*)，5\n且当n＝1时其图象过点(2，8)，则a7的值为( )A.B.7C.5D.6解析 由题知y′＝2anx，∴2an＝2an－1＋1(n≥2，n∈N*)，∴an－an－1＝，又n＝1时其图象过点(2，8)，∴a1×22＝8，得a1＝2，∴{an}是首项为2，公差为的等差数列，an＝＋，得a7＝5.故选C.答案 C14.已知函数f(x)＝把函数g(x)＝f(x)－x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为( )A.an＝(n∈N*)B.an＝n(n－1)(n∈N*)C.an＝n－1(n∈N*)D.an＝2n－2(n∈N*)解析 作为选择题，本题有一种有效的解法是先确定函数的第1，2，3，…有限个零点，即数列的前几项，然后归纳出其通项公式，或代入选项验证即可，据已知函数关系式可得f(x)＝此时易知函数g(x)＝f(x)－x的前几个零点依次为0，1，2，…，代入验证只有C符合.答案 C5
