第四节双曲线考点一双曲线的定义及标准方程22xy1．(2022·福建，3)若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E916上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于()A．11B．9C．5D．3解析由双曲线定义||PF2|－|PF1||＝2a，∵|PF1|＝3，∴P在左支上，∵a＝3，∴|PF2|－|PF1|＝6，∴|PF2|＝9，故选B.答案B2．(2022·安徽，4)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是()222yx2A．x－＝1B.－y＝14422y22xC.－x＝1D．y－＝144解析由双曲线性质知A、B项双曲线焦点在x轴上，不合题意；C、D项双曲线焦点均在1y轴上，但D项渐近线为y＝±x，只有C符合，故选C.2答案C22xy53．(2022·广东，7)已知双曲线C：－＝1的离心率e＝，且其右焦点为F2(5，0)，则22ab4双曲线C的方程为()2222xyxyA.－＝1B.－＝1431692222xyxyC.－＝1D.－＝191634c52解析因为所求双曲线的右焦点为F2(5，0)且离心率为e＝＝，所以c＝5，a＝4，ba42222xy＝c－a＝9，所以所求双曲线方程为－＝1，故选B.169答案B22xy4．(2022·天津，5)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋22ab10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为()2222xyxyA.－＝1B.－＝15202051\n22223x3y3x3yC.－＝1D.－＝12510010025bb解析由题意可知，双曲线的其中一条渐近线y＝x与直线y＝2x＋10平行，所以＝2aa2222222xy且左焦点为(－5，0)，所以a＋b＝c＝25，解得a＝5，b＝20，故双曲线方程为－＝5201.选A.答案A35．(2022·广东，7)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3，0)，离心率等于，则C2的方程是()2222xyxyA.－＝1B.－＝145452222xyxyC.－＝1D.－＝12525解析由曲线C的右焦点为F(3，0)，知c＝3.3c3由离心率e＝，知＝，则a＝2，2a2222故b＝c－a＝9－4＝5，22xy所以双曲线C的方程为－＝1.45答案B考点二双曲线的几何性质22y1．(2022·四川，5)过双曲线x－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条3渐近线于A，B两点，则|AB|＝()43A.B．23C．6D．43322y解析焦点F(2，0)，过F与x轴垂直的直线为x＝2，渐近线方程为x－＝0，将x＝232代入渐近线方程得y＝12，y＝±23，∴|AB|＝23－(－23)＝43.选D.答案D2．(2022·新课标全国Ⅱ，11)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为()A.5B．2C.3D.222xy解析如图，设双曲线E的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则|AB|22ab＝2a，由双曲线的对称性，可设点M(x1，y1)在第一象限内，过M作2\nMN⊥x轴于点N(x1，0)，∵△ABM为等腰三角形，且∠ABM＝120°，∴|BM|＝|AB|＝2a，∠MBN＝60°，∴y1＝|MN|＝|BM|sin∠MBN＝2asin60°＝3a，x1＝|OB|＋|BN|＝a＋2acos2222xy22ca＋b60°＝2a.将点M(x1，y1)的坐标代入－＝1，可得a＝b，∴e＝＝＝2，选222abaaD.答案D2x23．(2022·新课标全国Ⅰ，5)已知M(x0，y0)是双曲线C：－y＝1上的一点，F1，F2是C的2→→两个焦点，若MF1·MF2<0，则y0的取值范围是()3333－，－，A.33B.6622222323－，－，C.33D.332x22－y＝1，x2222解析由题意知M在双曲线C：－y＝1上，又在x＋y＝3内部，由得y＝222x＋y＝3，333±，所以－<y0<.333答案A2222xyxy4．(2022·广东，4)若实数k满足0<k<9，则曲线－＝1与曲线－＝1的()259－k25－k9A．离心率相等B．实半轴长相等C．虚半轴长相等D．焦距相等解析由0<k<9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x轴上，由25＋9－k＝25－k＋9，得两双曲线的焦距相等，选D.答案D225．(2022·新课标全国Ⅰ，4)已知F为双曲线C：x－my＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为()A.3B．3C.3mD．3m22xy解析∵双曲线的方程为－＝1，焦点F到一条渐近线的距离为3.3m3答案A22xy6．(2022·重庆，8)设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存22ab9在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为()43\n459A.B.C.D．33342解析由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝3b，所以(|PF1|＋|PF2|)22222－(|PF1|－|PF2|)＝9b－4a，即4|PF1|·|PF2|＝9b－4a，又4|PF1|·|PF2|＝9ab，因此b23b3bb1229b＋1－4b4＝－舍去9b－4a＝9ab，即9a－－4＝0，则aa＝0，解得＝a3，则aa3b25双曲线的离心率e＝1＋a＝.3答案B2222xyxy7．(2022·山东，10)已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，2222abab3C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为()2A．x±2y＝0B.2x±y＝0C．x±2y＝0D．2x±y＝022222222a－ba＋ba－ba＋b解析椭圆C1的离心率为，双曲线C2的离心率为，所以·＝aaaa34434441，所以a－b＝a，即a＝4b，所以a＝2b，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±x，242即x±2y＝0.答案A8．(2022·大纲全国，9)已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上．若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1＝()1122A.B.C.D.4343解析由双曲线的定义知|AF1|－|AF2|＝2a，又|AF1|＝2|AF2|，∴|AF1|＝4a，|AF2|＝2a.∵ec＝＝2，∴c＝2a，∴|F1F2|＝4a.a222|AF2|＋|F1F2|－|AF1|∴cos∠AF2F1＝2|AF2|·|F1F2|222（2a）＋（4a）－（4a）1＝＝，故选A.2×2a×4a4答案A222y9．(2022·四川，6)抛物线y＝4x的焦点到双曲线x－＝1的渐近线的距离是()313A.B.C．1D.3224\n解析由题意可得，抛物线的焦点为(1，0)，双曲线的渐近线方程为y＝±3x，即±3x－y＝0，|±3－0|3由点到直线的距离公式可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离d＝＝.22答案B222πxyy10．(2022·湖北，5)已知0<θ<，则双曲线C1：－＝1与C2：－2224cosθsinθsinθ2x＝1的()22sinθtanθA．实轴长相等B．虚轴长相等C．焦距相等D．离心率相等22xy22222解析对于双曲线C1：－＝1，a1＝cosθ，b1＝sinθ，c1＝1；22cosθsinθ22yx22222对于双曲线C2：－＝1，a2＝sinθ，b2＝sinθtanθ，222sinθsinθtanθ222222222sinθsinθc2＝sinθ＋sinθtanθ＝sinθ(1＋tanθ)＝sinθ(1＋)＝22cosθcosθ2＝tanθ.π∵只有当θ＝kπ＋(k∈Z)时，4222222a1＝a2或b1＝b2或c1＝c2，π而0<θ<，∴排除A，B，C.42212tanθ1设双曲线C1，C2的离心率分别为e1，e2，则e1＝2，e2＝2＝2.cosθsinθcosθ故e1＝e2，即两双曲线的离心率相等．答案D2x211．(2022·浙江，9)双曲线－y＝1的焦距是______，渐近线方程是______．22222解析由双曲线方程得a＝2，b＝1，∴c＝3，∴焦距为23，渐近线方程为y＝±x.22答案23y＝±x22x212．(2022·北京，10)已知双曲线－y＝1(a＞0)的一条渐近线为3x＋y＝0，则a＝2a________．b解析双曲线渐近线方程为y＝±x，a5\nb3∴＝3，又b＝1，∴a＝.a33答案322xy13．(2022·湖南，13)设F是双曲线C：－＝1的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF22ab的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为________．222xyc解析不妨设F(c，0)，则由条件知P(－c，±2b)，代入－＝1得＝5，∴e＝5.222aba答案52214．(2022·江苏，12)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x－y＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________．22解析双曲线x－y＝1的渐近线为x±y＝0，直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0平行，|1－0|2故两平行线的距离d＝＝.由点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，得221＋1222c≤，故c的最大值为.222答案222xy15．(2022·浙江，16)设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近22ab线分别交于点A，B.若点P(m，0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是________．ambmb，解析联立直线方程与双曲线渐近线方程y＝±x可解得交点为3b－a3b－a，a－ambm，13b＋a3b＋a，而kAB＝，由|PA|＝|PB|，可得AB的中点与点P连线的斜率为－3，即3bmbm＋3b－a3b＋a－02＝－3，am－am＋3b－a3b＋a－m2225化简得4b＝a，所以e＝.25答案222xy16．(2022·江苏，8)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1的离心率为5，则2mm＋4m的值为________．6\n22xy解析由双曲线标准方程－＝1知2mm＋4222a＝m>0，b＝m＋4，2222∴c＝a＋b＝m＋m＋4，2c由e＝5，得＝5，2a2m＋m＋4∴m>0且＝5，m∴m＝2.答案22x217．(2022·江西，20)如图，已知双曲线C：－y＝1(a>0)的右焦点2a为F，点A，B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA(O为坐标原点)．(1)求双曲线C的方程；x0x(2)过C上一点P(x0，y0)(y0≠0)的直线l：－y0y＝1与直线AF相交于点M，与直线x2a3＝相交于点N.2|MF|证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值．|NF|2(1)解设F(c，0)，因为b＝1，所以c＝a＋1，1直线OB的方程为y＝－x，a1直线BF的方程为y＝(x－c)，acc，－解得B22a.1又直线OA的方程为y＝x，则acc－c－2ac，a3Aa，kAB＝＝.cac－21－232x2又因为AB⊥OB，所以·a＝－1，解得a＝3，故双曲线C的方程为－y＝1.a3x0xx0x－3(2)证明由(1)知a＝3，则直线l的方程为－y0y＝1(y0≠0)，即y＝.33y07\n2x0－32，因为直线AF的方程为x＝2，所以直线l与AF的交点为M3y0；33x0－3，232直线l与直线x＝的交点为N3y0.22（2x0－3）22（3y0）|MF|则＝32|NF|x0－3212＋24（3y0）2（2x0－3）＝29y092＋（x0－2）4424（2x0－3）＝·，2233y0＋3（x0－2）2x02因为P(x0，y0)是C上一点，则－y0＝1，代入上式得322|MF|4（2x0－3）＝·222|NF|3x0－3＋3（x0－2）24（2x0－3）4＝·＝，234x0－12x0＋93|MF|223所求定值为＝＝.|NF|3322xy18．(2022·大纲全国，21)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，22ab离心率为3，直线y＝2与C的两个交点间的距离为6.(1)求a，b；(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．22ca＋b(1)解由题设知＝3，即＝9，2aa22故b＝8a.222所以C的方程为8x－y＝8a.将y＝2代入上式，21求得x＝±a＋.2212由题设知，2a＋＝6，解得a＝1.2所以a＝1，b＝22.8\n22(2)证明由(1)知，F1(－3，0)，F2(3，0)，C的方程为8x－y＝8.①由题意可设l的方程为y＝k(x－3)，|k|<22，2222代入①并化简得(k－8)x－6kx＋9k＋8＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则26kx1≤－1，x2≥1，x1＋x2＝，2k－829k＋8x1·x2＝.2k－822于是|AF1|＝（x1＋3）＋y122＝（x1＋3）＋8x1－8＝－(3x1＋1)，22|BF1|＝（x2＋3）＋y222＝（x2＋3）＋8x2－8＝3x2＋1.由|AF1|＝|BF1|得－(3x1＋1)＝3x2＋1，2即x1＋x2＝－.326k2故＝－，2k－8324解得k＝，519从而x1·x2＝－.922由于|AF2|＝（x1－3）＋y122＝（x1－3）＋8x1－8＝1－3x1，22|BF2|＝（x2－3）＋y222＝（x2－3）＋8x2－8＝3x2－1，故|AB|＝|AF2|－|BF2|＝2－3(x1＋x2)＝4，|AF2|·|BF2|＝3(x1＋x2)－9x1x2－1＝16.2因而|AF2|·|BF2|＝|AB|，所以|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．9
