考点一 直线及其方程1.(2022·湖南，8)在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB上异于A，B的一点．光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图)．若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于( )A．2B．1C.D.解析 以A为原点，AB为x轴，AC为y轴建立直角坐标系如图所示．则A(0，0)，B(4，0)，C(0，4)．设△ABC的重心为D，则D点坐标为.设P点坐标为(m，0)，则P点关于y轴的对称点P1为(－m，0)，因为直线BC方程为x＋y－4＝0，所以P点关于BC的对称点P2为(4，4－m)，根据光线反射原理，P1，P2均在QR所在直线上，∴kP1D＝kP2D，即＝，解得，m＝或m＝0.当m＝0时，P点与A点重合，故舍去．∴m＝.答案 D2．(2022·新课标全国Ⅱ，12)已知点A(－1，0)，B(1，0)，C(0，1)，直线y＝ax＋b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )A．(0，1)B.4\nC.D.解析 (1)当直线y＝ax＋b与AB、BC相交时(如图①)，由得yE＝，又易知xD＝－，∴|BD|＝1＋，由S△DBE＝××＝得b＝∈. 图① 图②(2)当直线y＝ax＋b与AC、BC相交时(如图②)，由S△FCG＝(xG－xF)·|CM|＝得b＝1－∈(∵0<a<1)，∵对于任意的a>0恒成立，∴b∈∩，即b∈.故选B.答案 B3．(2022·广东，10)曲线y＝e－5x＋2在点(0，3)处的切线方程为________．解析 y′＝－5e－5x，曲线在点(0，3)处的切线斜率k＝y′|x＝0＝－5，故切线方程为y－3＝－5(x－0)，即5x＋y－3＝0.答案 5x＋y－3＝0考点二 两直线的位置关系1．(2022·辽宁，9)已知点O(0，0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB为直角三角形，则必有( )A．b＝a3B．b＝a3＋C．(b－a3)(b－a3－)＝0D．|b－a3|＋|b－a3－|＝0解析 若△OAB为直角三角形，则A＝90°或B＝90°.当A＝90°时，有b＝a3；当B＝90°时，有·＝－1，4\n得b＝a3＋.故(b－a3)(b－a3－)＝0，选C.答案 C2．(2022·浙江，3)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析 由l1∥l2⇒a(a＋1)－2＝0⇒a＝1或a＝－2，∴a＝1是l1∥l2的充分不必要条件．答案 A3．(2022·四川，14)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．解析 易求定点A(0，0)，B(1，3)．当P与A和B均不重合时，不难验证PA⊥PB，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，所以|PA|·|PB|≤＝5(当且仅当|PA|＝|PB|＝时，等号成立)，当P与A或B重合时，|PA|·|PB|＝0，故|PA|·|PB|的最大值是5.答案 54．(2022·江苏，11)在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是________．解析 由曲线y＝ax2＋过点P(2，－5)可得－5＝4a＋ (1)．又y′＝2ax－，所以在点P处的切线斜率4a－＝－ (2)．由(1)(2)解得a＝－1，b＝－2，所以a＋b＝－3.答案 －35．(2022·安徽，15)在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x，y)为整点．下列命题中正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；②如果k与b都是无理数，则直线y＝kx＋b不经过任何整点；③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点；④直线y＝kx＋b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数；⑤存在恰经过一个整点的直线．解析 若x，y为整数，则x＋y也为整数．故直线x＋y＝既不平行于坐标轴，也不经过任何整点，即①正确．4\n直线y＝x－过整点(1，0)，故②错误．若直线l经过无穷多个整点，则一定过两个不同的整点．反之，若直线l经过两个不同的整点M(m1，n1)，N(m2，n2)，其中m1，m2，n1，n2均为整数．当m1＝m2或n1＝n2时，直线l的方程为x＝m1，或y＝n1，显然过无穷多个整点，当m1≠m2且n1≠n2时，直线l的方程为y－n1＝(x－m1)，则直线l过点((k＋1)m1－km2，(k＋1)n1－kn2)，其中k∈Z.这些点均为整点且有无穷多个，即直线l经过无穷多个整点，故③正确．直线y＝不经过任何整点，即当k，b为有理数时，并不能保证直线l：y＝kx＋b过无穷多个整点，故④错误．直线y＝x－恰经过一个整点(1，0)，故⑤正确．答案 ①③⑤4
