考点一 抛物线的定义及方程1．(2022·新课标全国Ⅱ，11)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方程为( )A．y2＝4x或y2＝8xB．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16xD．y2＝2x或y2＝16x解析 设点M的坐标为(x0，y0)，由抛物线的定义，得|MF|＝x0＋＝5，则x0＝5－.又点F的坐标为，所以以MF为直径的圆的方程为(x－x0)＋(y－y0)y＝0.将x＝0，y＝2代入得px0＋8－4y0＝0，即－4y0＋8＝0，所以y0＝4.由y＝2px0，得16＝2p，解之得p＝2，或p＝8.所以C的方程为y2＝4x或y2＝16x，故选C.答案 C2．(2022·安徽，9)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若|AF|＝3，则△AOB的面积为( )A.B.C.D．2解析 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|AF|＝3及抛物线定义可得，x1＋1＝3，∴x1＝2.∴A点坐标为(2，2)，则直线AB的斜率k＝＝2.∴直线AB的方程为y＝2(x－1)，即为2x－y－2＝0，则点O到该直线的距离为d＝.8\n由消去y得，2x2－5x＋2＝0，解得x1＝2，x2＝.∴|BF|＝x2＋1＝，∴|AB|＝3＋＝.∴S△AOB＝|AB|·d＝××＝.答案 C3．(2022·陕西，2)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是( )A．y2＝－8xB．y2＝8xC．y2＝－4xD．y2＝4x解析 由抛物线的准线方程为x＝－2知抛物线的焦点在x轴的正半轴上，＝2⇒p＝4.∴抛物线的方程为y2＝8x，故选B.答案 B4．(2022·陕西，14)若抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝________．解析 由于双曲线x2－y2＝1的焦点为(±，0)，故应有＝，p＝2.答案 25．(2022·湖南，15)如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a<b)，原点O为AD的中点，抛物线y2＝2px(p>0)经过C，F两点，则＝________．解析 由正方形的定义可知BC＝CD，结合抛物线的定义得点D为抛物线的焦点，所以|AD|＝p＝a，D，F，将点F的坐标代入抛物线的方程得b2＝2p＝a2＋2ab，变形得－－1＝0，解得＝1＋或＝1－(舍去)，所以＝1＋.答案 1＋6．(2022·大纲全国，21)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|.8\n(1)求C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．解 (1)设Q(x0，4)，代入y2＝2px得x0＝.所以|PQ|＝，|QF|＝＋x0＝＋.由题设得＋＝×，解得p＝－2(舍去)或p＝2.所以C的方程为y2＝4x.(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0)．代入y2＝4x得y2－4my－4＝0.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.故AB的中点为D(2m2＋1，2m)，|AB|＝|y1－y2|＝4(m2＋1)．又l′的斜率为－m，所以l′的方程为x＝－y＋2m2＋3.将上式代入y2＝4x，并整理得y2＋y－4(2m2＋3)＝0.设M(x3，y3)、N(x4，y4)，则y3＋y4＝－，y3y4＝－4(2m2＋3)．故MN的中点为E，|MN|＝|y3－y4|＝.由于MN垂直平分AB，故A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，从而|AB|2＋|DE|2＝|MN|2，即4(m2＋1)2＋＋＝.化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1.所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.8\n7．(2022·广东，20)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c>0)到直线l：x－y－2＝0的距离为.设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．(1)求抛物线C的方程；(2)当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；(3)当点P在直线l上移动时，求|AF|·|BF|的最小值．解 (1)依题意，设抛物线C的方程为x2＝4cy(c>0)，由＝，结合c>0，解得c＝1.∴抛物线C的方程为x2＝4y.(2)抛物线C的方程为x2＝4y，即y＝x2，求导得y′＝x，设A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中y1＝，y2＝)，则切线PA，PB的斜率分别为x1，x2，∴切线PA的方程为y－y1＝(x－x1)，即y＝x－＋y1，即x1x－2y－2y1＝0.同理可得切线PB的方程为x2x－2y－2y2＝0.∵切线PA，PB均过点P(x0，y0)，∴x1x0－2y0－2y1＝0，x2x0－2y0－2y2＝0，∴和为方程x0x－2y0－2y＝0的两组解．∴直线AB的方程为x0x－2y－2y0＝0.(3)由抛物线定义可知|AF|＝y1＋1，|BF|＝y2＋1，∴|AF|·|BF|＝(y1＋1)(y2＋1)＝y1y2＋(y1＋y2)＋1，联立方程消去x整理得8\ny2＋(2y0－x)y＋y＝0，由一元二次方程根与系数的关系可得y1＋y2＝x－2y0，y1y2＝y，∴|AF|·|BF|＝y1y2＋(y1＋y2)＋1＝y＋x－2y0＋1，又点P(x0，y0)在直线l上，∴x0＝y0＋2，∴y＋x－2y0＋1＝2y＋2y0＋5＝2＋，∴当y0＝－时，|AF|·|BF|取得最小值，且最小值为.考点二 抛物线的几何性质1．(2022·天津，6)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，则双曲线的方程为( )A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析 双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，又渐近线过点(2，)，所以＝，即2b＝a，①抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－，由已知，得＝，即a2＋b2＝7②，联立①②解得a2＝4，b2＝3，所求双曲线的方程为－＝1，选D.答案 D2．(2022·浙江，5)如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是( )A. B.C. D.8\n解析 由图象知＝＝，由抛物线的性质知|BF|＝xB＋1，|AF|＝xA＋1，∴xB＝|BF|－1，xA＝|AF|－1，∴＝.故选A.答案 A3．(2022·北京，7)直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于( )A.B．2C.D.解析 由抛物线方程可知抛物线的焦点为F(0，1)，所以直线l的方程为y＝1.设直线l与抛物线的交点为M、N，分别过M、N作x轴的垂线MM′和NN′，交x轴于点M′、N′，如图．故所求图形的面积等于阴影部分的面积，即S＝4－2dx＝，故选C.答案 C4．(2022·四川，8)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)，若点M到抛物线焦点的距离为3，则|OM|等于( )A.B．2C．4D．2解析 由题意知可抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则2＋＝3，∴p＝2，∴y2＝4x，∴y＝4×2＝8，∴|OM|＝＝＝2.答案 B5．(2022·上海，3)若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为______________．解析 ∵c2＝9－5＝4，∴c＝2.∴椭圆＋＝1的右焦点为(2，0)，∴＝2，即p8\n＝4.∴抛物线的准线方程为x＝－2.答案 x＝－26．(2022·浙江，15)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点P(－1，0)的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点．若|FQ|＝2，则直线l的斜率等于________．解析 设lAB：y＝k(x＋1)，与抛物线y2＝4x联立得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Q，其中＝－＝，＝＝，∴|FQ|＝＝＝2，解得k＝±1.答案 ±17．(2022·新课标全国Ⅰ，20)在直角坐标系xOy中，曲线C：y＝与直线l：y＝kx＋a(a>0)交于M，N两点，(1)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由．解 (1)由题设可得M(2，a)，N(－2，a)，或M(－2，a)，N(2，a)．又y′＝，故y＝在x＝2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为y－a＝(x－2)，即x－y－a＝0.y＝在x＝－2处的导数值为－，C在点(－2，a)处的切线方程为y－a＝－(x＋2)，即x＋y＋a＝0.故所求切线方程为x－y－a＝0和x＋y＋a＝0.(2)存在符合题意的点，证明如下：设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.将y＝kx＋a代入C的方程得x2－4kx－4a＝0.8\n故x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a.从而k1＋k2＝＋＝＝.当b＝－a时，有k1＋k2＝0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故∠OPM＝∠OPN，所以点p(0，－a)符合题意.8
